MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Legyen definíció szerint E az a tenzor, amely bármely dX-re megadja a hossznégyzet
változását a következő módon:
2 2
ds − dS = 2 dX⋅E⋅ dX
.
(2.5)
A képletben dS az eredeti, ds pedig a pillanatnyi állapotban számított hosszat jelenti.
Meghatározása a gradiens-tenzor segítségével történik (a (2.6/a képletben a negyedik és
ötödik tagot mátrix alakban írtuk fel):
2
ds = dx⋅dx = ( F⋅dX) ⋅( F⋅ dX ) = (FdX) T (FdX) = d X T F T F d X = dX⋅( F T ⋅F)
⋅ dX
, (2.6/a)
2
dS = dX⋅dX = dX⋅I⋅dX→ dX⋅( F T ⋅F - I) ⋅ dX= 2 dX⋅E⋅ dX
,
(2.6/b)
így az alakváltozás-tenzor definíciója:
1
E= ( F T ⋅ F -I ) .
(2.7)
2
A Green-Lagrange-tenzor mindig szimmetrikus.
A fentiekben elmondott transzformációk megértését segíti a következő ábra vázlata:
2.2. ábra: Transzformáció az anyagi rendszerből a pillanatnyi állapotba
A Green-Lagrange-tenzor számítása közvetlenül az elmozdulásokból
Az u eltolódásfüggvény segítségével kapott összefüggések a nagy alakváltozásokra
érvényes geometriai egyenleteket szolgáltatják. A gradiens-tenzor és az elmozdulásfüggvény
közötti összefüggést felhasználva E és u kapcsolata (a második felírási módnál
felhasználjuk az első fejezet 1.20-as képletében megadott elmozdulás-gradiens tenzort):
1 T T 1
T T
E= (( ∇
0u) +∇0u + ∇0u⋅( ∇
0u) ) = ( H + H + H ⋅ H)
.
(2.8/a)
2 2
Gyakorlásul megadjuk a tenzor számításának indexes felírási módját is:
10.06.20. 17