MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
B./ Castigliano 130 első tétele
Ez a tétel a potenciális energia minimumtételének speciális változata. Véges szabadságfokú
rendszereknél a teljes potenciális energia felírható n darab elmozdulás-komponens (
e 1 , e2
,....,
e n ) segítségével, így a minimumfeltétel
∂ Π ∂ Π
∂ Π
= 0 , = 0 , .... ...., = 0
(9.29)
∂ e ∂ e
∂
alakú lesz. Ha a testre csak az
adott
1
2
e n
e 1 , e2
,... ...., en
ismeretlen elmozdulások helyén működnek
1 , f 2 ,... f n külső erők, akkor a külső erők potenciálja:
Π K = − ( f 1e1
+ f 2e2
+ .... .... f nen
) . (9.30)
f ...,
Ennek az i-edik elmozdulás szerinti deriváltja:
∂ Π K
∂ Π ∂ Π B
= − fi
, így = − fi
+ =0.
∂ e
∂ e ∂ e
i
i
i
(9.31)
Ennek alapján adódik a Castigliano első tétele néven ismert összefüggés:
∂ Π B
= fi
, i =1,2,... ..., n . (9.32)
∂ ei
A tétel pontos megfogalmazása: lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső
alakváltozási energiának egy elmozdulás szerinti deriváltja egyenlő az elmozdulás
helyén ható külső erő elmozdulás irányú vetületével.
C./ Castigliano második tétele
Ez a tétel a kiegészítő potenciális energia minimumtételének egy speciális változataként
szokták definiálni, de lényegében a virtuális erők tételével azonosítható. Ha a teljes
kiegészítő potenciált n darab külső dinám függvényeként írjuk fel, akkor a minimumfeltétel
az alábbi alakú lesz:
~ ~
~
∂ Π ∂ Π ∂ Π
= 0, = 0, ... ..., = 0 . (9.33)
∂ f1
∂ f 2 ∂ f n
Ebből levezethető Castigliano második tétele:
~
∂Π B
= ei
, i = 1,2,... ..., n . (9.36)
∂ f
i
A tétel megfogalmazása: Lineárisan rugalmas anyagú testek esetén a belső kiegészítő
energiának egy külső dinám szerinti deriváltja egyenlő a dinám helyén keletkező
elmozdulás erő irányú vetületével. Alkalmazhatóságának két feltétele van:
a./ Az összes külső és belső erő ismert legyen (például egy statikailag határozott
tartón az adott terhek figyelembevételével meghatároztuk a reakciókat is, stb.)
b./ A támaszoknál az elmozdulások zérus értékűek.
130
Carlo Alberto Castigliano (1847 – 1884) olasz vasútépítő mérnök. Sokat foglalkozott
matematikai és fizikai kérdések – többek között a rugalmas mechanikai rendszerek
energiaviszonyainak – elemzésével.
10.06.20. 144