MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Φ ( X,t ) mozgásfüggvény Jacobi 8 -mátrixa. Ez a nemlineáris mechanika egyik legfontosabb
tenzora. Megjegyezzük, hogy igen gyakori alkalmazása miatt a továbbiakban sokszor röviden
csak „gradiens-tenzor” néven említjük. Ez az elnevezés matematikailag természetesen nem
pontos, de eléggé elterjedt.
Ha egy hivatkozási állapotot leíró rendszerben a dX hosszúságú elemi vonaldarab új hosszát
a pillanatnyi koordináta-rendszerben kívánjuk meghatározni, akkor erre a célra a gradienstenzort
használva az alábbi összefüggést kapjuk:
dx = F ⋅ dX
. (1.12)
Fontossága miatt a deformáció-gradiens tenzort részletesen is felírjuk. Derékszögű
koordináta-rendszerben elemei a következők:
⎡ ∂x
∂x
∂x
⎤
⎢∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎢ ∂y
∂y
∂y
⎥
F = ⎢
⎥ . (1.13)
⎢∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎢ ∂z
∂z
∂z
⎥
⎢
⎣∂X
∂Y
∂Z
⎥
⎦
Ugyanez hengerkoordináta-rendszerben:
⎡ ∂r 1 ∂r ∂r
⎤
⎢ ∂R R ∂Θ ∂Z
⎥
⎢
⎥
∂β r ∂β ∂β
F = ⎢r
r ⎥
. (1.14)
⎢ ∂R R ∂Θ ∂Z
⎥
⎢
⎥
⎢
∂z 1 ∂z ∂z
⎥
⎢⎣
∂R R ∂Θ ∂Z
⎥⎦
A gradiens-tenzor determinánsát J-vel jelöljük a továbbiakban, mechanikai számításokban
többnyire Jacobi-determináns néven fogunk rá hivatkozni:
J = det(F) . (1.15)
Erre a determinánsra például akkor is szükség lesz, amikor a kétféle rendszerben számított
(például térfogati, területi) integrálok közötti kapcsolatot kell megteremtenünk:
f dΩ = f J dΩ
∫ ∫
. (1.16)
0
Ω
Ω0
Megjegyezzük, hogy a Jacobi-determináns anyagi idő szerinti deriváltját is használni
fogjuk a mechanikai alapegyenletek átalakításakor. A láncszabályt alkalmazva:
DJ ∂J
= J&
= : F & (1.17)
Dt ∂ F
A determináns gradiens-tenzor szerinti deriválásánál felhasználjuk a Függelék (F.53) alatti
∂ J
T
képletét: =
−
J F . Ezt behelyettesítve és felhasználva a Függelék (F.24)-es képletét:
∂F
7 Megjegyezzük, hogy ebben az előadásvázlatban a bal gradienst fogjuk használni, de tudnunk kell,
hogy a szakirodalom ebben nem egységes.
8 Carl Gustav Jacob Jacobi (1804 – 1851) német matematikus. Elsősorban lineáris algebrával és
függvénytannal foglalkozott.
10.06.20. 8