MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4.2 Példa
Vizsgáljuk az ábrán látható húzott rúdelem feszültségállapotát leíró tenzorokat!
Legyenek a koordináták közötti kapcsolatok a következők:
l a b
x = X , y = Y , z = Z .
l a b
0
0
0
4.4. ábra. Húzott oszlop vizsgálata
⎡ l 0 0
⎤
⎢ l0
⎥
A gradiens-tenzor: F =
⎢
0 a 0
⎥
⎢
.
a0
⎥
⎢
⎥
⎢
0 0 b
⎣
b ⎥
0 ⎦
A determináns és az inverz tenzor:
⎡l0
0 0
⎤
⎢ l
⎥
abl −1
J =
⎢ a ⎥
, F =
a0b0l
⎢
0
0
0
a ⎥
.
0
⎢
b0
⎥
⎢
0 0
⎣
b ⎥⎦
⎡σ
x
0 0⎤
Az egyes feszültségtenzorok:
⎢ ⎥
σ =
⎢
0 0 0
⎥
,
⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎡l0
0 0
⎤
⎡abσ
x ⎤
0 0
⎢ l
⎥ ⎡σ 0 0 ⎢
⎥
x ⎤ a0b0
abl ⎢ a
⎢
⎥
P = 0
0
0
⎥ ⎢
0 0 0
⎥
⎥
= ⎢ 0 0 0⎥
.
a
⎢
0b0l
⎢ a ⎥
0
⎢
b
0 0
0
⎥ ⎢⎣
0 0 0⎥⎦
⎢ 0 0 0⎥
⎢⎣
b ⎥⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Az egyetlen nemzérus elem kapcsolata a Cauchy-tenzor első elemével:
ab A
P = σ .
11 x
= σ A második Piola-Kirchhoff-tenzorból csak az első ((1,1)
a
x
0b0
A0
l0
A
indexű) elemet adjuk meg: S = 11
x
lA σ .
0
10.06.20. 50