MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
vagy ugyanez indexes jelöléssel:
L
∂v
i
= ,
∂x
dv = L dx
i j i i j j
j
. (2.23)
A sebesség gradiens tenzor szimmetrikus és ferdén szimmetrikus részre osztható:
1 T 1 T 1 1
L = ( L + L ) + ( L − L ) , Li j = ( Li j + L j i) + ( Li j − L j i ). (2.24)
2 2
2 2
Az alakváltozás-sebesség tenzor az L tenzor szimmetrikus része:
1
D ( L L T 1 ⎛ ∂v
i
∂v
⎞
j
= + ) , Di j
= 2
2
⎜ + . (2.25)
⎜∂x
j
∂x
⎜⎝
i ⎠⎟
A ferdén szimmetrikus tag neve spin 22 tenzor:
1
W ( L - L T 1 ⎛ ∂v
i
∂v
⎞
j
= ) , Wi j
= 2
2
⎜ − . (2.26)
⎜∂x
j
∂x
⎜⎝
i ⎠⎟
Az alakváltozás-sebesség tenzor egy elemi anyagi szakasz hossznégyzetének változási
sebességét méri 23 :
∂ 2 ∂
( ds ) = ( dx( X, t) ⋅ dx( X, t))
=
(2.27)
∂t
∂t
∂v
T T T
= 2dx⋅ dv = 2dx⋅ ⋅ dx = 2dx⋅L⋅ dx = dx ⋅ ( L + L + L-L ) ⋅ dx = dx⋅ ( L + L ) ⋅ dx
=
∂x
= 2 dx⋅D⋅
dx
.
Merevtestszerű mozgás esetén természetesen:
D= 0, W = Ω .
Az alakváltozás-sebesség tenzor és a Green-Lagrange-tenzor
növekményének kapcsolata
A tenzor eredeti definícióját felhasználva:
∂v ∂v ∂X
L = = ⋅
∂x ∂X ∂ x
. (2.28)
Ezt a képletet átalakíthatjuk, mivel:
( X,
) v
F& ∂ ⎛ ∂Φ
t ⎞ ∂
= ⎜ ⎟ = ,
(2.29)
∂t
⎝ ∂X
⎠ ∂X
és így végül:
−1
L = F & ⋅F
.
(2.30)
Az alakváltozás-sebesség tenzor a sebesség-gradiens tenzor szimmetrikus része, így ide
behelyettesíthetjük ezt a képletet, hogy megkapjuk a D és F közötti kapcsolatot:
1 T 1 −1
−T T
D= ( L + L ) = ( F& ⋅ F + F ⋅F& ) . (2.31)
2 2
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor idő szerinti deriváltja pedig:
1
1
E& D T
T
= ( F ⋅ F -I) = ( F ⋅ F&
T
+ F&
⋅ F).
(2.32)
2 Dt 2
Ugyanez az alak kapható D jobbról-balról történő beszorzásával:
22 Impulzus-momentum.
23 T
A levezetésnél felhasználtuk, hogy L − L = 2W és dx ⋅ W ⋅ dx = 0 .
10.06.20. 24