MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2 3
∫ ,
13 ∫ 3
,
33 ∫ 3
,
44 ∫ 3, y
. (12.32)
A A A A
I = y dA F = Eyg dA F = Eg dA F = Gg dA
Beírva ezeket a tagokat a mozgásegyenletekbe, a végső egyenletrendszer v−re és γ6
− ra :
( EIv′′ )′′ −( F13 γ′ 6) ′′ − q2 = ( J3vɺɺ
′)′ −( I13γɺɺ 6)
′ −mvɺɺ
, (12.33)
( F v′′ )′ −( F γ ′ )′ + F γ = I vɺɺ ′ − I γɺɺ . (12.34)
13 33 6 44 6 13 33
Az egyenletek tényleges megoldásai természetesen g
3
felvételétől függenek.
12.1 Példa: Harmadfokú nyírási modell
Vegyük fel g
3
függvényét egy harmadfokú polinom formájában (itt ci
-k ismeretlen
állandók):
2 3
g3 = c1 y + c2 y + c3
y . (12.35)
Az egyszerűség kedvéért tételezzünk fel izotróp, prizmatikus gerendát négyszög
keresztmetszettel és h magassággal. Fogadjuk el továbbá, hogy a felső és alsó élen
nincsenek megoszló nyíróerők, így
σ = τ = . (12.36)
12 12
0
y=±
h / 2
Ebből az következik, hogy (figyelembe véve az előző pontban σ12
A
6
g
3, y y =± h / 2
-re felírt képletet):
= 0 . (12.37)
γ nyírási szögelfordulás definíciójából adódik, hogy ε
12
= γ
6
, ebből pedig az
adódik, hogy: g = 3, y
1 .
y = 0
Ezeket a feltételeket felhasználva a polinom együtthatóinak számítására, azt kapjuk,
hogy:
c 4 4 3
1
1, c 2
0, c −
= =
3
= ⇒
2 3
2
3h
g = y −
3h
y .
(12.38)
A függvényt most már be lehet írni az előzőekben megadott egyenletekbe az eltolódás
és a nyírási szögelfordulás meghatározásához.
2D Timoshenko 181 -modell („lineáris nyírási modell”).
A Timoshenko-modell a nyírási alakváltozásokat konstansnak tételezi fel, így egy metszetben
az eredő nyíróerő:
F2 = ∫ σ
12
dA= kγ6GA
, ε
12
=γ
6
. (12.39)
A
Itt k egy korrekciós tényező, γ
6
pedig egy (Timoshenko javasolta) átlagos, jellemző nyírási
alakváltozás. A nyírási alakváltozási energia ebben az esetben:
1 1 2
Enyírás
= F2 γ
6
= kγ 6GA
. (12.40)
2 2
Vizsgáljuk meg most részletesebben k és γ
6
jelentését. Számítsuk ki először a nyíróerő és az
alakváltozási energia értékét másféleképpen, a geometriai egyenletek szolgáltatta
összefüggések segítségével:
181 Sztyepán Prokofjevics Tyimosenko (angol névváltozatban: Stephen P. Timoshenko) (1878 – 1972)
ukrán származású mérnök, a modern mérnöki mechanika megteremtőinek egyike.
10.06.20. 194
y=0