MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A jobb oldal első tagja a folytonossági feltétel miatt zérus. A második integrálnál
kihasználjuk az előírt terheléseket, így:
ndim .
∂
∫ ( δviσ ji ) dΩ = ∑ δvi ti
dΓ
∂
∫ . (7.52)
Ω
x
j
i=
1 Γt i
Ha ezt most visszahelyettesítjük az átalakítás első lépésébe, akkor a következő eredményre
jutunk:
n
∂σ
dim.
ji
∂ ( δvi
)
∫ δvi dΩ = ∑ δvi ti dΓ − σ
ji
dΩ
∂x
∫ ∫ . (7.53)
∂x
Ω j
i=
Γt i
Ω
Visszaírva ezt is az impulzus-tételre épülő integrálba, az eredmény:
ndim.
∂ ( δvi
)
σ
ji
dΩ − δvi ρbi dΩ − ∑ δvi ti dΓ + δvi ρv idΩ = 0
∂
∫ ∫ ∫ ∫
& . (7.54)
x
Ω j
Ω i=
1 Γt i
Ω
Ezt az egyenletet hívják a mechanikában a virtuális teljesítmények elvének. Hangsúlyozzuk,
hogy az előbb bemutatott, virtuális munkát leíró egyenlettel együtt ez a kifejezés is
nélkülözhetetlen lesz a nemlineáris feladatok végeselemes vizsgálatánál!
Az integrál első tagját belső-, második és harmadik tagját külső-, utolsó tagját pedig
kinetikus teljesítménynek nevezik a mechanikában.
7.1 Példa
A gyenge alak Lagrange-rendszerbeli felvételének illusztráló példájaként vizsgáljunk meg
egy 1D feladatot és vezessük le ott a variációs változatot.
Ebben az esetben a mozgásmennyiség skalár változókkal felírt egyenlete a következő
kifejezés lesz (a képletben A
0
a kezdeti állapothoz tartozó keresztmetszeti felület):
( )
A P A b A u&& .
0
+ ρ
, 0 0
−ρ
0 0
= 0
X
Perem-, kezdeti és folytonossági feltételek:
0 0
a./ peremfeltételek: u( X , t) = u( X , t) , X ∈Γ
u
, n P = tx , X ∈Γ
t
,
b./ kezdeti feltételek (az egész tartományra vonatkoznak):
u0( X ), v0
( X ) , vagy v0 ( X ), P0
( X ) .
Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételekhez tartozó függvények Γt
− n illetve Γu
− n
kielégítik a peremfeltételeket.
c./ folytonossági feltétel: A0 P= 0 , X ∈ ( X
a, X
b)
, ahol „a” és „b” az 1D feladat
perempontjai.
A variációs feladat:
Xb
( 0 , X 0 0 0 0 )
∫ δ u ( A P) + ρ A b −ρ A u&& dX = 0 .
X a
Xb X b Xb
∂
δ u A P dX = δu A P dX − δu A P dX
∫ ∫ ∫ .
Az első tag átalakítása: ( )
( )
0 , X
0 , X 0
∂X
X a X a X a
A jobb oldalon szereplő két tagból az első tovább alakítható:
δu A P − δ u A P .
( ) ( )
0 X
0
b
X a
j
10.06.20. 105