MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A következő mozgásjellemző a gyorsulás függvénye. Ha itt is az anyagi idő szerinti deriváltat
használjuk, akkor az eredmény a következő:
2
∂v( X, t) ∂ u( X, t)
a( X, t)
= vɺ = = . (1.5)
2
∂t
∂t
A gyorsulás-függvény számítását megadjuk arra az esetre is, amikor a sebességfüggvényt
térbeli koordinátákkal fejezték ki.
Ilyen esetben a térbeli koordinátákkal felírt v( x,t ) sebességfüggvényt először a Lagrangekoordináták
segítségével kell megadni, ehhez pedig az x =Φ( X,t ) transzformáló függvényt
használjuk. Így az új alak: v ( Φ ( X , t ),
t ) , és most már alkalmazhatjuk az anyagi idő szerinti
deriválást, figyelembe véve a láncszabály szerinti deriválást:
Dv
i ( x , t) ∂v i ( x, t) ∂v i ( x, t) ∂Φ
j ( X , t)
∂v i
∂v i
= + = + v
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t ∂x
j
j
j
, (1.6)
A ∂v
/ ∂ t tagot hívják térbeli idő szerinti deriváltnak. Tenzor alakban is felírjuk ugyanezt a
deriválást:
i
( ) ∂ ( )
Dv x, t v x, t ∂v
= + v⋅∇ v = + v⋅( grad v)
T
. (1.7)
Dt ∂t ∂t
Példaként megadjuk a sebességfüggvény (bal) gradiensének tenzorát kétdimenziós esetre
részletesen is (háromdimenziós esetre ugyanilyen módon számítható):
T ⎡vx, x vy,
x ⎤
∇ v = ( grad v)
= ⎢ ⎥ .
(1.8)
⎢⎣
vx, y vy,
y ⎥⎦
Megjegyezzük, hogy ez a számítási módszer általánosítható: ha például egy térbeli
f x, t skalár, vagy egy (ugyancsak Euler-változókat használó)
koordinátákkal felírt ( )
σ ( x, t)
tenzor deriválását kell elvégezni, az anyagi idő szerinti deriváltak a következők
i j
lesznek:
Df ∂f ∂f ∂f ∂f
= + vi
= + v ⋅∇ f = + v ⋅grad f ,
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t
i
Dσ i j ∂ σ i j i j σ
σ
v
∂ σ
= + k = ∂ + v ⋅∇ σ = ∂ + v ⋅grad σ.
Dt ∂t ∂x ∂t ∂t
Deformációgradiens 6 -tenzor:
k
(1.9)
(1.10)
A nemlineáris mechanika alakváltozás- és feszültségtenzorainak előállításához szükségünk
lesz a Lagrange- és az Euler-koordináták közötti differenciális kapcsolatra. Ezt az
összefüggést
∂Φ
∂x
T
F = = = ( ∇
0Φ) = grad Φ
(1.11)
∂X
∂X
alakban szokták megadni, ahol a nabla operátor „nulla” indexe az anyagi koordináták szerinti
deriválásra utal 7 . Az F tenzort deformációgradiens-tenzornak hívják, matematikailag ez a
6 Egyes könyvekben alakváltozás-gradiensnek is nevezik.
10.06.20. 7