MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A (síkbeli) változást az időfüggő θ ( t)
= ω t szögváltozás okozza, itt ω az ismertnek (és
konstansnak) feltételezett szögsebesség, t pedig az idő. Az eredetileg vízszintes szálak az
elmozdulás során is vízszintesek és változatlan hosszúságúak maradnak. A harmadik
irányban a méret változatlan marad.
Határozzuk meg egy X∈ Ω
0 pont időfüggő helyzetét t =π / 4 és ω = 1 esetén. Legyenek a
vizsgált pont koordinátái t = 0-nál a következők: [ / 2 / 2 1]
L L .
1 2
A keresett térbeli (Euler) koordináták:
x = X + tg θ X = ( L + L ) / 2,
1P 1P 2 P 1 2
x = X = L
x
2 P 2 P 2
= X = 1.
3 P 3P
A mechanikai folyamatok modellezésének különböző lehetőségei
/ 2,
(1.2)
A nemlineáris mechanikai jelenségek matematikai leírására alapvetően két különböző
lehetőségünk van.
Ha egyenleteinkben a független változók az anyagi koordináták és az idő függvényei, akkor
anyagi vagy más néven Lagrange-féle leírási módról beszélünk, ha pedig a független
változók a térbeli koordináták és az idő, akkor térbeli vagy más néven Euler-féle leírási
módot használunk. A kétféle leírási mód elméletileg teljesen egyenértékű, a gyakorlati
számításoknál (például a végeselemes modellezésnél) azonban jelentős különbségek
adódhatnak a kétféle technika között. Bár éles határt megszabni nem lehet, mert sokféle
szempontot kell figyelembe venni a választásnál, de a szilárd testek nemlineáris feladatainál
többnyire a Lagrange-, míg áramlástani problémáknál legtöbbször az Euler-féle leírásmódot
használják 5 .
Elmozdulás, sebesség és gyorsulás
A következőkben megadjuk azokat az alapvető összefüggéseket, amelyek segítségével a
testek mozgásának mechanikai jellemzői számíthatók. Elsőként az elmozdulás függvényének
számítását mutatjuk be. Az elmozdulásokat az egyes anyagi pontoknál a kétféle bázis
koordinátáinak a különbsége fogja megadni (megadjuk indexes alakban is):
u = x- X = Φ( X, t) − Φ( X,0), u X, t = u e , u =φ ( X , t)
− X . (1.3)
( )
i i i i j i
Az elmozdulások ismeretében a sebesség függvénye is számítható. Anyagi (Lagrange)
leírásmód esetén a transzformáló függvény idő szerinti deriválása egyszerűen végrehajtható,
mivel a Lagrange-koordináták nem függnek az időtől. Ezt a műveletet az anyagi változók idő
szerinti deriválásának, vagy rövidebben anyagi idő szerinti deriválásnak (vagy más néven
anyagi deriválásnak) nevezzük.
∂Φ( X, t) ∂u( X, t)
v( X, t) = uɺ = = .
(1.4)
∂t
∂t
5 Létezik olyan numerikus technika is, amely mindkettőt egyszerre használja, mi azonban az MSc
képzésben ezzel nem foglalkozunk, ez a későbbi PhD-tanfolyamok témája.
10.06.20. 6