MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol Θ
3
a keresztmetszet elfordulási szöge, q
2
az y tengellyel párhuzamos külső megoszló
terhelés függvénye, a „vessző” szimbólum az s változó szerinti parciális deriválást
helyettesíti ( ∂ ), az eltolódásfüggvény feletti pont pedig az idő szerinti deriváltra utal. Az
∂ s
F
2
nyíróerő és az m fajlagos tömeg a nyírófeszültség és a sűrűségfüggvény segítségével
számítható 175 :
∫ ∫ (12.2)
F2 = σ
12
dA , m= ρ dA .
A
A két nyíróerő közötti felezőponton átmenő, a síkra merőleges z tengellyel párhuzamos
tengelyre felírt nyomatéki egyensúlyi egyenlet 176 :
1 1
M ′
3
ds + F2 ds + ( F2 + F ′
2
ds)
ds = J3 dsΘ ɺɺ 3
. (12.3/a)
2 2
ahol:
M y dA J y dA forgási inercia sűrűség
2
3
=− σ
11
,
3
= ρ ( ), ρ ⇒ .
A
A
10.06.20. 190
A
∫ ∫ (12.3/b)
Kis mozgások feltételezése esetén:
sin Θ
3
=Θ3 , cosΘ 3
= 1 , Θ
3
= v′ . (12.4)
Ezeket a közelítéseket alkalmazva az egyensúlyi egyenletekben és elhanyagolva a magasabb
1 2
rendű
2
2 F ′ ds tagot, az összevont egyensúlyi egyenlet:
( )
F ′ + q = mvɺɺ , M ′ + F = J vɺɺ ′ ⇒ − M ′′ + q = mvɺɺ − J v ɺɺ ′ ′ . (12.5)
2 2 3 2 3 3 2 3
A következő lépés a nyomaték és az eltolódás összekapcsolására szolgáló egyenlet felírása.
Ehhez először a keresztmetszet egy tetszőleges pontjának eltolódásait adjuk meg:
u1 =− y sin θ
3
= − yv′
, u2 = v − y(1− cos θ
3) = v, u3
= 0 .
(12.6)
Az alakváltozások a geometriai egyenletekből számíthatók:
u1 u1 u2
ε
11
= ∂ =− y v′′
, ε
12
= ∂ + ∂ = 0, ε
22
=ε
33
=ε
13
=ε
23
= 0 . (12.7)
∂s ∂y ∂s
Fontos tudnunk, hogy az itt kapott alakváltozások nem pontosak, hiszen a fizikai realitásként
létező Poisson-hatás miatt ε22 és ε33
nem lehet zérus értékű! A Bernoulli-Navier-modell így
csak olyan gerendáknál alkalmazható, ahol ez a hiba még nem jelentős. A hiba
természetesen jelentkezik a
E (1 − ν)
σ11
= ε
2 11
(12.8)
1− ν − 2ν
módon számítható (lásd az 5. előadás anyagmodelljeit) normálfeszültségben is. A (12.8)
képlet helyett – elfogadva a σ 22 = σ33
= 0 közelítő feltételt – a
σ11 = E ε11
= − E y v ′′ , σ12
= 0
(12.9)
feszültség-komponenseket használja a Bernoulli-Navier-modell. Ha az itt kapott
normálfeszültséget beírjuk M 3 korábbi képletébe, akkor a nyomaték és az eltolódásfüggvény
kapcsolatára adódó egyenlet:
2
2
M 3 = E v ′′ y dA=
EI v′′
⇐ I = y dA .
(12.10)
∫
A
Helyettesítsük be végül ezt az egyenletet a dinamikai egyensúly összevont képletébe:
− EI v ′′ )′′+
q = mv& − ( J v&
′)
. (12.11)
( 2 3
′
175 Az előbb említett
12
0 ε = állításból adódó ellentmondásra még visszatérünk.
176 A külső terhek nyomatékát jó közelítessel zérusnak tekinthetjük erre a pontra.
∫
A