MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Így végül:
az inverz forma pedig:
T 1 T T
F ⋅D⋅ F = ( F ⋅ F& + F& ⋅F)
.
(2.33)
2
E & = F
T ⋅ D ⋅ F , Eɺ F D F . (2.34)
− T
ɺ −1
,
D = F ⋅ E ⋅ F
T
i j
=
k i k l l j
−T
−1
i j i k k l l j
D = F Eɺ F . (2.35)
2.5.Példa
Számítsuk ki E és D tenzorát egy kombinált nyújtás-elforgatás hatására!
A mozgásegyenletek („a” és „b” ismert konstansok, mindkettő pozitív szám):
π t
π t
x( X, t) = (1 + at) X cos − (1 + bt) Y sin ,
2 2
π t
π t
y( X, t) = (1 + at) X sin + (1 + bt) Y cos .
2 2
Egyszerűsítsük a jelöléseket, majd vizsgáljuk meg a t=0 és a t=1 időpillanatokat:
πt
πt
A( t) = A= 1 + at , B( t) = B = 1 + bt , c = cos , s = sin ;
2 2
A deformáció-gradiens tenzor:
⎡ ∂x
∂x
⎤
⎢∂X
∂Y
⎥ ⎡ Ac −B s⎤
F = ⎢ ⎥ =
.
y y
⎢
A s B c
⎥
⎢ ∂ ∂ ⎥ ⎣ ⎦
⎢⎣
∂X
∂Y
⎥⎦
A Green-Lagrange-tenzor:
2 2
1
1 ⎛ ⎡ Ac As⎤ ⎡Ac −Bs⎤ ⎡1 0⎤⎞ 1 ⎡2at + a t 0 ⎤
E= ( F T ⋅ F -I)
= ⎜ .
2 2
2
2
⎢
Bs Bc
⎥ ⎢
As Bc
⎥ − ⎢ =
0 1
⎥⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎣− ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎠
2 ⎣ 0 2bt + b t ⎦
A t = 0 pillanatban E = 0, t=1-nél pedig:
2
⎡ + / 2 0
E= a a ⎤
⎢
.
2 ⎥
⎣ 0 b+
b / 2⎦
A deformáció-sebesség tenzor számításához először határozzuk meg a sebességeket,
mint anyagi idő szerinti deriváltakat:
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
π ⎛ π ⎞
vx
= ⎜ ac − As ⎟ X − ⎜bs + Bc ⎟Y
, vy
= ( as + Ac) X + ⎜bc − Bs ⎟Y
.
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2 ⎝ 2 ⎠
A t =0 pillanatban x=X, y=Y, c=1, s=0, A = B = 1 és így D értéke:
⎡ π ⎤
T
⎢
a −
2 ⎥ ⎡a
0⎤ π ⎡0 −1⎤
L = ( ∇ v)
= ⎢ ⎥ → D = , W = .
π
⎢
0 b
⎥
2
⎢
1 0
⎥
⎢ b ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢⎣
2 ⎥⎦
A t = 1 pillanathoz használjuk a deformáció-gradiens tenzort:
10.06.20. 25