MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ahol
∂RO′
/ ∂ x = (1 + e1 ) i1
. (13.68)
Az előbb említett i 1ɶértékét is ki tudjuk számítani ezeknek a helyzetvektoroknak a
segítségével:
RB′ -R
A′ 1
iɶ
= = ⎡
1
( 1 + e1 + zk1)
i1 + zk61i
⎤
2 ,
A′ B′
τɶ
⎣ ⎦
(13.69)
ahol
2 2
1 1 zk61
τ ɶ = (1 + e zk ) + ( ) . (13.70)
Megjegyezzük, hogy ha a lokális elmozdulásokból keletkező lokális elfordulások hatása
elhanyagolható, akkor az egységvektor képlete egyszerűsödik:
1 i ⎡
0 0
1 ( 1 e 1 zk 1 ) i 1 zk 61 i ⎤
ɶ = ⎢ + + + 2
τ ⎣ ⎥⎦
. (13.71)
Ez az egyszerűsítés lényegében a kis alakváltozások hatásának elfogadását jelenti.
Ha az egységvektorra és elmozdulás-deriváltra kapott képleteket behelyettesítjük az ε 11
alakváltozásra felírt összefüggésbe, akkor a következőt kapjuk:
1+ e1 + zk1
0 0 0 0
ε 11 = (( u, x − vk5 + wk1 ) T11 + ( v, x + uk5 + wk61)
T12
+ (13.72)
ττɶ
0 0 zk61
0 0 0 0
+ ( w, x −uk1 − vk61) T13 + zk1 + T11 ) + (( u, x − vk5 + wk1 ) T21 + ( v, x + uk5 + wk61)
T22
+
ττɶ
0 0 0
1+ e1 + zk1
+ ( w, x −uk1 − vk61) T23 + zk61 + T21) −i ⋅ j + j ⋅i
− 1=
1ɶ 1ɶ 1ɶ 1ɶ [ 1+ e1 + zk1
] +
ττɶ
zk61 τɶ
+ [(1 + e1 ) i1 ⋅ i2 + zk61]
− 1= −1.
ττɶ
τ
Sorfejtés és elhanyagolások után az alábbi egyszerűsített változatát szokás használni a fenti
képletnek:
0
ε = e + z k − ( 1+
e k . (13.73)
[ ]
11 1 1 1)
Megjegyezzük, hogy ebben az egyszerűsített változatban nem szerepel
10.06.20. 213
1
~
k , így a ξ és ξ
tengelyek menti tengelyirányú alakváltozások megegyeznek ( i ~ = i1). Az ( 1+ e1
) tényezőre
azért van szükség, mert k1
nem valódi görbület ( k viszont igen), és ε 11 − t a deformálatlan
hosszhoz viszonyítva definiáltuk. Ha e 1 kicsiny ( 1+ e 1 ≅ 1), akkor a most felírt redukált alak
még tovább egyszerűsíthető:
0
ε = e + z(
k − ) . (13.74)
11 1 1 k1
Mivel a merevtestszerű mozgásokból nem keletkezik alakváltozás, a ζ tengelyt rögzíteni
lehet, és a hozzá nagyon közeli pontok elmozdulásait az alábbi módon is fel lehet írni:
0
u1 ( x, y,z,t) = u1 ( x, y,t) + z ⎡⎣
Θ2 ( x, y,t) − Θ20
( x, y ) ⎤⎦
,
0
2 ( ) =
2 ( ) − ⎡⎣
Θ1 ( ) − Θ10
( )
0
u3 ( x, y,z,t) = u3
( x, y,t ) .
0
Ezekben az egyenletekben ( i = 1, 2,3)
u x, y,z,t u x, y,t z x, y,t x, y ⎤⎦
,
0
1
1
0
61
(13.75)
u i azoknak a referenciapontoknak a lokális
koordinátarendszerhez viszonyított elmozdulásait jelenti, amelyek a referenciafelületen
vannak. Θ1 és Θ2
a megfigyelt héjelem ξ és η tengelyekhez viszonyított elfordulásait