MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
9.1.ábra. A rugalmasságtan alapegyenletei kis alakváltozások esetén
1./ Első lépésként az ismeretlen mechanikai mezőváltozók
u →elmozdulás, ε →alakváltozás,
σ → feszültség
i i j i j
közül kell kiválasztani annyit, amennyit alapvető variálandó paraméterként használni
kívánunk (szokás a kiválasztottakat néha – főleg az elméleti végeselemes irodalomban –
„alap”-változóknak 122 is hívni, ellentétben a többi, „másodlagos” („segéd”, „származtatott”,
stb.) függvénnyel). A kiválasztott alap-változók számától függően lesz egy-, két- vagy
hárommezős a variációs elv.
Fontos megjegyeznünk, hogy az ismert adatnak tekintett függvények (tömeg-, felületi-,
vonalmenti- és koncentrált terhek, valamint peremfeltételi adatok) soha nem lehetnek
variálandó mennyiségek (ezeket egyszerűen „adat”-mezőknek nevezik).
2./ Lépés: Az alapváltozó(k)ból az ún. „erős” kapcsolati egyenletekkel előállítjuk a
másodlagos változókat. Ha egy alapváltozóra peremfeltételt is előírtunk, akkor azt a feltételt
tekinthetjük „erősnek” vagy „gyengének”. Az „erős peremfeltétel” elnevezést akkor
használjuk, amikor az alapváltozót csak azon függvények halmazából választjuk, amelyek
teljesítik ezeket a peremfeltételeket.
Ha egy másodlagos változót két alapváltozóból is előállítunk (vagy két összekapcsolódó
alapváltozó esetén az egyikből számíthatjuk a másikat, azt másodlagosnak tekintve), akkor
azoknak elvileg meg kellene egyezniük. Az ezt kimondó egyenletet, valamint az eddig ki nem
elégített egyenleteket „gyenge” egyenleteknek tekintjük, és ezeket csak „átlagos értelemben”
teljesítjük.
Az „átlagos értelemben való teljesülés” egyébként azt jelenti, hogy minden, a tartományon
felvett – legalább szakaszonként differenciálható – függvényre (az ún. Lagrange-szorzók
függvényeire) legyenek ezek a kifejezések ortogonálisak.
3./ Lépés: A Lagrange-szorzók 123 célszerű megválasztásával és megfelelő átalakítások után
megkapjuk a keresett funkcionál első variációjának zérus voltát (vagyis a keresett
funkcionál stacionaritását) előíró
δΠ = 0
egyenletet (többváltozós esetben egyenleteket). Ebből előállítható maga a funkcionál is.
122 Néha használatos a „mesterváltozó” elnevezés is, egyes ábrákon mi is ezt alkalmaztuk.
123
Emlékeztetőül: A Lagrange-szorzók alkalmazásának módszere része a BSc-mérnökhallgatók
matematikai alapképzésének, lásd a Thomas-féle „Kalkulus” III. kötetének 321-330. oldalakon
található tananyagot.
Megjegyezzük, hogy a Lagrange-szorzós technikát variációs elvek kidolgozására elsőként Kurt Otto
Friedrichs német matematikus (1901-1982) alkalmazta, ő egyébként két másik kiváló német
matematikus, David Hilbert (1862-1943) és Richard Courant (1888-1972) tanítványa volt.
10.06.20. 136