MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.4. ábra: Deformációs tenzor elemeinek számítása
A három, egymásra merőleges irányú eltolódás:
e0
e0
u = x − X = Y , v = y −Y
= X , w=
z − Z = 0;
b
a
A zérustól különböző alakváltozás-komponensek a két tenzor esetén:
2
Green-Lagrange: 1 ⎛ e0
⎞ 1 ⎛ e0
⎞ e0
e
E ,
,
0
11
= ⎜ ⎟ E22
= ⎜ ⎟ E12
= + ;
2 ⎝ a ⎠ 2 ⎝ b ⎠ 2b
2a
2
2 2 2
2
2 2 2
e 1 ⎡
0
e0
( e0
+ b ) ⎤ e 1 ⎡
0
e0
( e0
+ a ) ⎤
Almansi-Hamel: e
11
=− −
;
22
,
2 ⎢
2 2 ⎥ e =− −
2 ⎢
2 2 ⎥
ab−e0
2 ⎣ ( ab−e0
) ⎦ ab−e0
2 ⎣ ( ab−e0
) ⎦
3
e0
( a + b)
e0
( a + b)
e12
= + ;
2
2 2
ab −e
( ab−e
)
További alakváltozás-tenzorok
0
0
Az eddig említett – és az építőmérnöki nemlineáris feladatoknál is gyakran használt –
alakváltozás-tenzorok mellett másféle változatokat is alkalmaznak a mechanikában. Ilyen
például az úgynevezett jobb Cauchy 18 -Green-féle alakváltozás-tenzor:
T
C = F ⋅ F . (2.16)
Az elnevezés onnan származik, hogy a képletben itt az F tenzor a szorzat jobb oldalán
szerepel. Az „alakváltozás-tenzor” helyett találóbb elnevezés a „deformációs” (vagy
„nyúlási”) tenzor név, hiszen a tenzor elemei többnyire egynél nagyobb számok. Egyes
művekben szokás jobb Cauchy-tenzorként, vagy Green-tenzorként is említeni. C inverzét
Piola 19 -féle alakváltozási tenzornak hívják és B-vel jelölik:
T
−
( ) 1
−1 −1
−T
2
B=C = F F = F F
(2.17)
Megjegyezzük, hogy C használatával is felírható az E Green-Lagrange-féle alakváltozástenzor:
1
E= ( C-I ) .
(2.18)
2
Az E és C tenzorok közös neve a mechanikában: anyagi alakváltozás-tenzorok.
Egy másik változat a bal Cauchy-Green-féle (vagy Finger 20 -féle) alakváltozás-tenzor 21 :
b = F F T ⋅ . (2.19)
18 Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857) világhírű francia matematikus, a mechanika nagyon sokat
köszönhet tudományos eredményeinek. Az ő életéről is olvasható életrajz („Cauchy és az egyensúlyi
egyenletek”) a tanszéki honlapon.
19 Gabrio Piola (1794 – 1850) olasz fizikus. Elsősorban szilárdságtani kutatásairól ismert.
20 Josef Finger (1841 – 1925) kiváló osztrák matematikus.
21 Megjegyezzük, hogy egyes szerzők b helyett B-vel jelölik, ez sajnos gyakran okoz zavart a Piolatenzorral
való összecserélhetősége miatt.
10.06.20. 20