MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az Ω tartományon (ez most egyaránt lehet térfogat, vagy felület) számítandó m ( Ω)
tömeget
a ρ ( x, t)
sűrűségfüggvény segítségével definiáljuk:
m( Ω ) = ∫ ρ( x,
t)
dΩ
. (7.6)
Ω
A tömegmegmaradás törvénye azt mondja ki, hogy a tömeg értéke nem változik a vizsgált
tartományon belül (nincs semmilyen tömegáramlás a szomszédos tartományok felé) 89 :
Dm D
= ∫ρdΩ=
0. (7.7)
Dt Dt
Ω
A Reynolds-féle átalakítást felhasználva és emellett figyelembe véve azt a tényt, hogy a
tömegmegmaradás független a tartománytól, a következőt kapjuk:
Dm ⎛ Dρ
⎞ Dρ
= div v d
div v = 0
Dt ∫ ⎜ +ρ ⎟ Ω ⇒ +ρ
Dt Dt
Ω⎝
⎠
. (7.8)
Az utolsó változatot nevezzük a tömegmegmaradás egyenletének 90 . Lagrangekoordinátákkal
való leírás esetén az egyenletet más formában szokták megadni:
ρdΩ = ρ dΩ ⇒ ( ρ J −ρ ) dΩ = 0 ⇒ ρ ( Φ( X , t) , t) J ( X, t) =ρ ( X)
∫ ∫ ∫ . (7.9)
0 0 0 0 0
Ω Ω0 Ω0
Megjegyezzük, hogy ha az anyag összenyomhatatlan, akkor a sűrűség anyagi idő szerinti
deriváltja zérus, és a tömegmegmaradás egyenlete a következő alakú lesz:
div v = 0 . (7.10)
A mozgásmennyiség (impulzus) egyenlete
Definiáljuk a rendszerre ható külső erők vektorát a ρ b tömegerők (például egységnyi
térfogatra jutó gravitációs erők) és az egységnyi felületre jutó t felületi erők segítségével az
alábbi módon:
f ( t) = ρb( x, t) dΩ + t(x, t)
dS
∫ ∫ . (7.11)
Ω
A mozgásmennyiség definíciója:
p( t) = ρv(x, t)
d Ω . (7.12)
∫
Ω
A mozgásmennyiség tétele szerint a mozgásmennyiség anyagi idő szerinti deriváltja egyenlő
a rendszerre ható erővel 91 :
Dp
D
= f ⇒ v d b d t
Dt Dt
∫ ρ Ω = ∫ ρ Ω + ∫
Ω Ω Γ
dS . (7.13)
Alkalmazzuk Reynolds képletét az egyenlet bal oldalára:
89 Első (filozófiai) megfogalmazása a görög Epikurosztól (341 – 270) származik. Nasir al-Din al-
Tusi (1201 – 1274) perzsa tudós műveiben bukkan fel újból, majd a XVIII. században egymástól
függetlenül több tudós is (Antoine-Laurent de Lavoisier (1743 – 1794) 1789-ben, Mihail Vasziljevics
Lomonoszov (1711 – 1765) pedig 1748-ban) megfogalmazta ma használatos alakját.
90 Megjegyezzük, hogy a tömegmegmaradás elvének figyelembevételével a Reynolds-tétel speciális
D
Df
változatához jutunk: f d d
Dt
∫ ρ Ω = ∫ ρ Ω . Ezt az alakot mi is használni fogjuk egyes
Dt
Ω
Ω
átalakításoknál (például (7.14)-ben).
91 Abu Ali Sina Balkhi (980 – 1037) perzsa tudós (Európában ismertebb nevén Avicenna) 1000 körül
kelt írásaiban található a törvény első változata. Bár René Descartes (1596 – 1650) és Galileo Galilei
(1564 – 1642) munkái is hivatkoznak rá, mai formája a XVII. század végén jött létre John Wallis
(1616 – 1703) és Isaac Newton (1643 – 1727) munkássága nyomán.
10.06.20. 99
Γ