MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
zérus. Az előbbi anyagmodellnél tehát a jobb oldalon szereplő alakváltozás-sebesség tenzora
nulla, de Dσ
/ Dt nem az, vagyis így az egyenlet nem megfelelő, mindenképpen korrigálni
kell.
Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond, hogy valamilyen módon
figyelembe kell vennünk benne a nagy elfordulások hatását. A nemlineáris mechanikában ezt
a feladatot a feszültségtenzor objektív sebességének (vagy más, tömörebb elnevezéssel egy
objektív feszültség-tenzornak) a bevezetésével oldják meg. Sokféle ilyen objektív változat
létezik, mi csak néhányat mutatunk be közülük.
a./ Jaumann 42 -sebességtenzor
Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indexes jelöléssel is megadjuk):
J Dσ
D σ
∇ T ∇ J i j
T
σ = − W ⋅σ − σ ⋅ W , σ
i j
= −Wi kσ k j
− σ
i kWk j
, (4.52)
Dt
Dt
ahol W a (2.26) egyenletben definiált ferdén szimmetrikus spin tenzor. A bal oldalon
szereplő tenzor felső indexében a ∇ jel az objektív sebességre utal, a J betű pedig
Jaumann nevének szimbóluma. Ezt az objektív tenzort kell ezek után az anyagmodell
egyenletébe helyettesíteni:
∇
σ J σ
C J ∇
: D,
J σ
= σ = C
D D . (4.53)
i j i j k l k l
A két egyenlet összevetéséből:
Dσ σ
∇ J +W σ +σ W T =C
σ
= ⋅ ⋅ J : D+W ⋅ σ+σ ⋅ W
T . (4.54)
Dt
A második egyenlőség utáni első tag a tényleges anyagi viselkedést, a második és
harmadik pedig együttesen az elfordulás hatását modellezi.
b./ Truesdell 43 -sebességtenzor
Truesdell javaslata a következő:
D
i j
v
k
vi v
∇T D σ
σ ∂ ∂ ∂
T ∇T
j
σ = + div( v) σ − L ⋅σ − σ ⋅L , σ
i j
= + σ
i j
− σ
k j
− σi k
.
Dt Dt ∂x ∂x ∂x
k k k
(4.55)
A képletben szereplő L tenzor a sebességgradiens-tenzor, korábban a (2.22) képlettel
definiáltuk, v pedig a sebességek vektora.
c./ Green-Naghdi 44 -féle sebességtenzor
G Dσ
D σ
∇ T ∇G i j
T
σ = − Ω⋅σ − σ ⋅Ω
, σ
i j
= − Ω
i kσ k j
− σi kΩ k j
, (4.56)
Dt
Dt
ahol az Ω tenzort a rotációs tenzor segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első
tagjánál idő szerinti deriváltat kell figyelembe vennünk):
Ω=R& ⋅R T . (4.57)
42 Gustav Jaumann (1863 – 1924) magyarországi születésű osztrák fizikus. Sokat foglalkozott
kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzorszámítás különböző kérdéseivel.
43
Clifford Ambrose Truesdell (1919 – 2000) amerikai matematikus. Sokat tett a modern
termodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséért.
44 Paul M. Naghdi (1924 – 1994) amerikai gépészmérnök, élete nagy részében a Berkeley Egyetem
tanára. Főleg áramlástannal és anyagmodellezéssel foglalkozott.
10.06.20. 57