MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az itteni
∫ ∫
⎡∆S : δ E + S : ∆( δ E ) ⎤ dV = g ⋅δ u dV +
( m + 1) ( m + 1) ( m ) ( m + 1)
∗
⎣ n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 ⎦ 0 0, n+
1 0
V0 V0
( m + 1)
n+
1
+ ∫ t ⋅δu dS − ∫ S : δE
dV .
St
∆S tag az
( n) ( m) ( m)
0n+ 1
n+ 1 n+
1 0
V0
( m+
1)
En
+ 1
∫ D(E) : dE
kifejezés
( m)
En
+ 1
( m)
( m)
( m+
1) ( m+
1)
változatából számítható (itt E
n+ 1
= E(
u
n+
1)
és En+
1
= E(
u
n+
1
) ):
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )
S m +
D m : E m +
∆ = ∆ , ahol D m = D( E
m ) , és
u
( m)
n+ 1
n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+
1
-hez tartozó linearizált
( m+
1) ( m+
1)
( m)
( m)
( m+
1)
( m)
∆E = E(
u ) − E(
u ) = E(
u + ∆u
) E(
u ) .
n + 1
n+
1
n+
1 n+
1 n+
1
−
n+
1
A Green-Lagrange-tenzor definíciós képletével kifejezhetjük a fenti egyenletekben
( m+
1)
( + 1)
szereplő ∆(
δE ) alakváltozást. ∆u
m -nek a virtuális elmozdulások tétele
n+
1
segítségével történő meghatározása után
( m+
1)
n+
1
n+
1
u is számítható, majd ezt követően
( m+
1)
n+
1
E számítása következik, végül a feszültségtenzort módosítjuk:
( m+
1)
En
+ 1
( m+
1) (0) (0) ( Sn
) (0) ( Sn
)
n+ 1
=
n+ 1
+ ( : d , ahol
n+ 1
=
n
,
n+
1
=
n
∫
S S D E) E E E S S
(0)
En
+ 1
Megjegyezzük, hogy a feszültségmódosítás integrál-kifejezését szokás
trapézszabállyal közelíteni:
( m+
1)
En
+ 1
1 (0) ( m+ 1) ( m+
1) (0) (0)
(0) ( m+
1)
( m+
1)
∫ D( E) : dE≈ ( Dn 1
+ Dn 1 ):( En 1
−En
1)
, D ( ), ( )
2
+ + + + n+ 1
= D En+
1
Dn+
1
= D En+
1
.
(0)
En
+ 1
A virtuális erők tétele 109
Fontos különbség az előző tételhez képest, hogy a virtuális erők tétele csak kis elmozdulások
esetén alkalmazható (az anyagmodellek természetesen tetszőlegesek lehetnek). Ezért most
nem írjuk fel újból az előadás elején az „ismétlés” pontban megadott tételt, de egy példában
kitérünk egy lehetséges alkalmazására.
8.3 Példa
Vizsgáljuk meg az ábrán látható, belső nyomással terhelt vastag falú hengert, és határozzuk
meg annak a belső nyomásnak az értékét, amelynek hatására ismert értékű sugárirányú
eltolódás jön létre. Az ábra egy teljesen általános terhelést mutat, jelen példában azonban
csak a belső nyomás hatását vizsgáljuk.
109 A virtuális erők tételét először a kiváló francia mérnök és fizikus, Benoit Paul Emile Clapeyron
(1799 – 1864) fogalmazta meg. Clapeyron évtizedeken keresztül volt Gabriel Lamé barátja és
munkatársa, nagyon sok mérnöki feladaton dolgoztak közösen. Lamé híres szilárdságtani könyvében
(„Lecons sur la Théorie Mathámatique de l’Élasticité des Corps Solides, Párizs, 1852”) közli
Clapeyron levezetéseit, megjegyezve, hogy a módszert Clapeyron jóval korábban dolgozta ki, de ez
a tétel első publikációja.
10.06.20. 125