MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
elhelyezett vessző a változó deriválására utal, vagyis
2
∂ Φ
például Φ
, xx
= .
∂
2
x
Sokszor a számításokban előnyösebb ezek
polárkoordináta-rendszerben felírt változatait használni:
σ + σ = 4Re( ϕ′ ), σ − σ + 2i τ = 2( zϕ ′′ + Ψ′′
)exp(2 iβ ), (11.44)
r β β r rβ
2 G( ur
+ iuβ ) = ( κϕ − zϕ′ − Ψ′
)exp( −i
β ) .
(11.45)
Megjegyezzük, hogy van olyan komplex feszültségfüggvény is, amely bizonyos
körülmények (például a mechanikailag teljesen szimmetrikus feladatoknál előforduló
feszültség eloszlási előírások) megléte esetén egymaga teljesíti a szükséges feltételeket (ilyen
például a Westergaard (lásd a 4. előadás lábjegyzetét) által vizsgált feladatcsoport is, ezeket
szintén a „Törésmechanika” c. tárgy előadássorozatában ismertetjük.
A különböző mechanikai tartalmú biharmonikus differenciálegyenletek
vizsgálatának kapcsolata
Főleg a laboratóriumi vizsgálatok iránt érdeklődőknek hasznos tudni arról, hogy a különböző
fizikai tartalmú, de matematikai formájukat tekintve hasonló feladatok megoldásának
vizsgálatára igen érdekes „kapcsolt” kísérletek születtek a mechanikai kutatóközpontokban.
A három legtöbbet vizsgált kapcsolt mechanikai feladatpár a következő feladatokat vonta
össze:
2
∂ F
a./ Tárcsa biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆ F = 0 ⇒ σ
x
= ,... ∂
2
y
b./ Lemez 164 p( x, y)
biharmonikus differenciálegyenlete: ∆∆ w = ⇒ w( x, y)
,
D
c./ Lassú áramlású viszkózus folyadék biharmonikus differenciálegyenlete:
∆∆ψ = 0 ⇒ ∂ψ
u = ,... ∂ y
ahol u a folyadék részecskéinek eltolódásfüggvénye
Wieghardt 165 volt az első kutató, aki lemez- és tárcsafeladatok laboratóriumi vizsgálatával
hasonlította össze az „a” és a „b” alatti feladatok egyes paramétereit (elsősorban a tárcsák
feszültségeloszlásának elemzésére törekedett).
Southwell 166 mintegy ötven évvel később ugyancsak lemezeket vizsgált laboratóriumi
körülmények között, de ő a folyadék mozgásának jellemzőit számította, vagyis a „b” és „c”
egyenletek összehasonlításával dolgozott.
164 Ennek a feladatnak itt bemutatott matematikai egyenletét a BSc „Tartók statikája” c. tárgy
keretében ismertettük. Az egyenletben p(x,y) a terhelés-, w(x,y) pedig a lemezsíkra merőleges
eltolódás függvénye. D az izotróp lemez skalár merevségi paramétere.
165 Karl Wieghard német mérnök (1874 – 1924). Kapcsolódó publikációja: „Über ein Verfahren,
verwickelte theoretische Spannungsverteilungen in elastischen Körpen auf experimentellem Wege zu
finden”, Teubner, Berlin, 1908.
10.06.20. 175