MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat 3 s θ= (4.49) 2 J 1 cos . Trigonometriai átalakítással: 3 3 J3 π cos3θ= , 0≤ θ ≤ . (4.50) 3 2 J 2 3 2 Az új koordináta-hármassal jellemezhető teret hívják alkotói neve után Haigh-Westergaardtérnek. Ezt az új koordináta-változatot sokszor előnyösen használják a numerikus képlékenységtani számításokban. Objektív mértékek megadása a feszültségtenzoroknál Nagy elfordulásokat végző rendszerek nemlineáris vizsgálatánál néha szükség van különleges feszültségfogalmak alkalmazására. Ilyen változatok bevezetésének indoklásához vizsgáljuk meg az alábbi kis feladatot. Tételezzük fel, hogy egy olyan anyagmodellt 41 kívánunk használni, ahol a feszültségek időbeli változása lineáris függvénye az alakváltozás-sebességeknek (gyakorlásul feltüntetjük az indexes alakot is): Dσ Dσ i j C σ D : D, σ D = = C i j k l Dk l . (4.51) Dt Dt A képletben szereplő C σ D tenzor a feszültségek időbeli változását és az alakváltozássebességeket összekötő, ismertnek feltételezett anyagmodell képleteit tartalmazza. Vizsgáljuk meg, hogy ez az összefüggés valóban betölti-e az anyagmodell szerepét, vagyis mindig egyértelműen megadja-e a két tenzor kapcsolatát. A következő ábra bal oldali képén egy kezdeti konfigurációban σ x =σ 0 feszültséggel rendelkező rúdelem látható (minden más feszültségkomponens zérus). 2 4.8. ábra. Forgó rúd állandó belső feszültséggel Tételezzük fel, hogy a külső hatások következtében a rúd 90 fokkal elfordul, de a hossza nem változik meg (D = 0), benne ugyanaz a feszültség van, mint a kezdeti állapotban. Ez a feszültség (most σ y =σ 0 ) azonban egy rögzített koordináta-rendszerben megadott feszültség-tenzornál már változást jelent, így a tenzor anyagi idő szerinti deriváltja nem lesz 41 Az anyagmodellekkel részletesen majd csak később foglalkozunk, most elegendő annyit tudni róluk, amit a BSc-Szilárdságtanban tanultunk: a mechanikai anyagmodellek az energiaértelemben megfelelően párt alkotó feszültség és alakváltozástenzorok összekapcsolását biztosítják. 10.06.20. 56
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat zérus. Az előbbi anyagmodellnél tehát a jobb oldalon szereplő alakváltozás-sebesség tenzora nulla, de Dσ / Dt nem az, vagyis így az egyenlet nem megfelelő, mindenképpen korrigálni kell. Az előbb bemutatott σ ε kapcsolattal tehát az az alapvető gond, hogy valamilyen módon figyelembe kell vennünk benne a nagy elfordulások hatását. A nemlineáris mechanikában ezt a feladatot a feszültségtenzor objektív sebességének (vagy más, tömörebb elnevezéssel egy objektív feszültség-tenzornak) a bevezetésével oldják meg. Sokféle ilyen objektív változat létezik, mi csak néhányat mutatunk be közülük. a./ Jaumann 42 -sebességtenzor Jaumann a következő objektív modellt javasolta (indexes jelöléssel is megadjuk): J Dσ D σ ∇ T ∇ J i j T σ = − W ⋅σ − σ ⋅ W , σ i j = −Wi kσ k j − σ i kWk j , (4.52) Dt Dt ahol W a (2.26) egyenletben definiált ferdén szimmetrikus spin tenzor. A bal oldalon szereplő tenzor felső indexében a ∇ jel az objektív sebességre utal, a J betű pedig Jaumann nevének szimbóluma. Ezt az objektív tenzort kell ezek után az anyagmodell egyenletébe helyettesíteni: ∇ σ J σ C J ∇ : D, J σ = σ = C D D . (4.53) i j i j k l k l A két egyenlet összevetéséből: Dσ σ ∇ J +W σ +σ W T =C σ = ⋅ ⋅ J : D+W ⋅ σ+σ ⋅ W T . (4.54) Dt A második egyenlőség utáni első tag a tényleges anyagi viselkedést, a második és harmadik pedig együttesen az elfordulás hatását modellezi. b./ Truesdell 43 -sebességtenzor Truesdell javaslata a következő: D i j v k vi v ∇T D σ σ ∂ ∂ ∂ T ∇T j σ = + div( v) σ − L ⋅σ − σ ⋅L , σ i j = + σ i j − σ k j − σi k . Dt Dt ∂x ∂x ∂x k k k (4.55) A képletben szereplő L tenzor a sebességgradiens-tenzor, korábban a (2.22) képlettel definiáltuk, v pedig a sebességek vektora. c./ Green-Naghdi 44 -féle sebességtenzor G Dσ D σ ∇ T ∇G i j T σ = − Ω⋅σ − σ ⋅Ω , σ i j = − Ω i kσ k j − σi kΩ k j , (4.56) Dt Dt ahol az Ω tenzort a rotációs tenzor segítségével számíthatjuk (a jobb oldal első tagjánál idő szerinti deriváltat kell figyelembe vennünk): Ω=R& ⋅R T . (4.57) 42 Gustav Jaumann (1863 – 1924) magyarországi születésű osztrák fizikus. Sokat foglalkozott kontinuummechanikai vizsgálatokkal és a tenzorszámítás különböző kérdéseivel. 43 Clifford Ambrose Truesdell (1919 – 2000) amerikai matematikus. Sokat tett a modern termodinamikai elméletek mechanikai alkalmazásának bevezetéséért. 44 Paul M. Naghdi (1924 – 1994) amerikai gépészmérnök, élete nagy részében a Berkeley Egyetem tanára. Főleg áramlástannal és anyagmodellezéssel foglalkozott. 10.06.20. 57
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 55: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?