MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
∫ g δ u dV + ∫ t δu dS . (F.115)
V
i i i i
S
A második integrált alakítsuk át a peremfeltételek és a Gauss-tétel segítségével:
t δ u dS = σ n δ u dS = σ δ u dV = σ δ u dV + σ δu dV
∫ i i ∫ i j j i ∫ ( i j i ),
j ∫ i j, j i ∫ i j i,
j
. (F.116)
S S V V V
Használjuk most fel az (F.114) alatti egyenletet, a geometriai egyenleteket valamint a
feszültségtenzor szimmetriáját az (F.116)-ben lévő utolsó egyenlőség utáni két tag
átalakítására. Ez a két tag az átalakítás után:
∫
2
⎛ ∂ u ⎞
i
⎜ρ − g
2 i ⎟ δ ui dV + σi jδεi j
dV
∂t
∫ . (F.117)
V ⎝ ⎠
V
Ezt visszaírva megkapjuk a mozgásokra érvényes variációs egyenletet:
∫
2
⎛ ∂ u ⎞
i
σi jδε i j
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.118)
V V ⎝ ⎠
S
A bal oldal nem más, mint az elemi alakváltozási energia variációja:
∫
2
e
⎛ ∂ u ⎞
i
δΠ
b
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.119)
V V ⎝ ⎠
S
Ez tovább alakítható a külső terhekre vonatkozó peremfeltételek segítségével:
∫
2
e
⎛ ∂ u ⎞
i
δΠ
b
dV = ∫ ⎜ gi − ρ u
2 ⎟δ i
dV + ti δui
dS
∂t
∫ . (F.120)
V V ⎝ ⎠
St
Következő lépésként vegyük figyelembe, hogy a δ ui
virtuális elmozdulások az időnek is
függvényei és ennek megfelelően integráljuk az (F.119) alatti egyenletet két tetszőleges, de
egymást követő időpont között:
t1 t1 t1 t1
2
e
∂ ui
∫∫ δΠ
b
dV dt = ∫∫ giδ ui dV dt + ∫ ∫ tiδui dS dt −∫∫ ρ δu 2 i
dV dt (F.121)
∂t
t0 V t0 V t0 St
t0
V
Parciális integrálással számítsuk ki a jobb oldal utolsó tagjának határozott integrálját
(jelöljük J-vel):
t1
t
∫ 1
∂ui ∂ui ⎛ ∂δui
∂ρ ⎞
i
i
∂t ∫∫ ∂t ⎜
∂t ∂t
⎟
V
t t
0 0 V ⎝
⎠
. (F.122)
J = ρ δu dV − ρ + δu dV dt
A második tagnál a zárójelben levő, idő szerinti sűrűségderivált a tömegmegmaradásból
következő
∂ρ ∂( ρu&
= −
i )
(F.123)
∂t
∂xi
feltétel miatt elhagyható, hiszen ha (F.123)-at visszaírjuk a zárójelbe, akkor a második
zárójeles tag egy nagyságrenddel kisebb lesz, mint az ott szereplő első komponens.
Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a kezdeti és végső időpontban az elmozdulás-variációk
értéke zérus, akkor a J kifejezés értéke a következő lesz:
t1 t1 t1
t
∂ui ∂δui ∂ui ∂ui 1 ∂ui ∂ui
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ .(F.124)
J = − ρ dV dt = − ρ δ dV dt = − δ ρ dV dt = − δK dt
∂t ∂t ∂t ∂t 2 ∂t ∂t
t0 V t0 V t0 V t0
K-val a vizsgált rendszer kinetikus energiáját jelöltük. Írjuk ezt vissza az (F.120) alatti
egyenletbe, és vegyük figyelembe, hogy a rendszer teljes belső potenciális energiája az elemi
energia térfogati integráljaként kapható:
10.06.20. 275