MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
(12.26)
L
{ }
δ K =− ⎡mv − ( J v′ )′ + ( I γ )′ ⎤ δ v + ( I γ − I v′ ) δγ ds− ⎡( J v′
− I γ ) δv⎤
∫
ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ . (12.22)
⎣ 3 13 6 ⎦ 33 6 13 6 ⎣ 3 13 6 ⎦
0 0
Helyettesítsük most be az alakváltozások képleteit a belső energia variációjába:
b
L
∫ ∫ ( 11y v ′′ 11g ′ 3 6 12g3, y 6)
dAds ∫ ( M3 v ′′ m ′ 3 6
f2 6)
ds ,(12.23)
δΠ = −σ δ +σ δγ +σ δγ = δ + δγ + δγ
ahol
0 A
0
dg3
g3, y
= , M
3
=− σ
11y dA , m3 = σ
11g3 dA,
f2 = σ12 g3,
y
dA
dy
A A A
10.06.20. 193
L
∫ ∫ ∫ . (12.24)
Az előzőekben már alkalmazott parciális integrálási technika ismétlésével az energia
variációja tovább módosítható:
L
δΠ
b
= ⎡M ′′ δ v + ( f −m′ ) δγ ⎤ ds+ ⎡M δv′ −M ′ δ v + m δγ ⎤
∫ . (12.25)
⎣ 3 2 3 6⎦ ⎣ 3 3 3 6⎦
0 0
Helyettesítsünk most be minden részletesen kiszámított komponenst az energia-variáció idő
szerinti integráljába (a stacionaritási feltétel miatt ennek értéke zérus). Megjegyezzük, hogy a
végső integrálban a teljes potenciális energia variációját írtuk fel elsőként, majd ebből vonjuk
ki a kinetikus energia variációját.
L
0
{ ⎡ ( ′
3
)′ ( ɺɺ
13 6)
′ ′′ ⎤ ⎡ ɺɺ ′ ′ ⎤
3 2 33 6 13 3 2 6}
∫ ⎣mv ɺɺ− J vɺɺ + I γ + M −q ⎦ δ v + ⎣I γ − I vɺɺ
− m + f ⎦ δγ ds +
L
+ ⎡M 3
v ( M
3
J3v I13 6) v m ⎤
⎣
δ ′ − ′ − ɺɺ′
+ γɺɺ δ +
3
δγ
6⎦
0
= 0 .
Ebből az integrálból adódik végül a két mozgásegyenlet:
− M ′′ + q = mvɺɺ − ( J vɺɺ ′)′ + ( I γɺɺ )′ , m′ − f = I γɺɺ − I vɺɺ
′ . (12.27)
3 2 3 13 6 3 2 33 6 13
A gerendavégeken ( s = 0, s = L ) alkalmazható peremfeltételek a (12.26)-os egyenletnek
megfelelően:
v, vagy − M ′ + J vɺɺ
′ − I γɺɺ
,
v′
, vagy M ,
3
3 3 13 6
γ6 , vagy m3
.
Ha összehasonlítjuk a (12.27)-ben felírt első mozgásegyenletet a Bernoulli-Navier-modellnél
felírt hasonló változattal, akkor azt látjuk, hogy a nyírási hatásokat is figyelembe vevő
modellnél a forgási hatás J3vɺɺ
′− I ɺɺ
13γ6
módon számítható. Ezt felhasználva – egy z tengely
irányú nyomatéki egyensúlyi egyenletben – a következőt kapjuk (lásd még a (12.2) ábra alsó
vázlatát):
M ′
3
+ F2 = J3vɺɺ ′ − I13γɺɺ 6
. (12.29)
Ebből az egyenletből következik, hogy a (12.28)-as képletben elsőként említett peremfeltétel
hogyan használható fel a nyíróerő meghatározására.
L
. (12.28)
Vizsgáljuk meg most a feszültségek értékeit:
σ
11
= Eε 11
=− E( yv′′ − g3γ′
6
) , σ
12
= Gε 12
= Gg3, yγ 6
. (12.30)
Behelyettesítve ezeket a nyomatékokra korábban felírt, (12.24) alatti összefüggésekbe a
következőket kapjuk:
M
3
= EIv′′ − F13 γ ′
6
, m3 = − F13 v′′ + F33 γ ′
6
, f2 = F44 γ
6
, (12.31)
ahol
L