MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat ∂τyz ∂σy ∂τxy ∂τyz ∂σz ∂τxz = − − − g y , = − − − g z , ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x (10.48) 2 2 2 2 2 2 ∂ τ yz ∂ σ y ∂ τxy ∂g y ∂ τ yz ∂ σz ∂ τxz ∂g z =− − − , =− − − 2 2 ∂y∂z ∂y ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂x∂z ∂ z . (10.49) Adjuk össze azt a két egyenletet és – a későbbi átalakítások kedvéért – kicsit rendezzük át őket: 2 2 ∂ τ 2 yz ∂ σ ∂ σ z y ∂ ⎛∂τ ∂τ ⎞ xz xy ∂g ∂g z y 2 = − − − , 2 2 + − − ∂z∂y z y x z y ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎜ ∂ ∂ ⎟ ∂z ∂y ⎠ ∂σ − x −g (10.50) 2 2 2 ∂ τ 2 yz ∂ σ ∂ σ x y ∂ σ ⎛ g z ∂g ∂ x y ∂g ⎞ z ∂gx 2 = − − − 2 . 2 2 2 + + + ∂y∂z x y z ⎜ x y z ∂ ∂ ∂ ⎝ ∂ ∂ ∂ ⎠ ⎟ ∂x Behelyettesítve ezt az alakot a kompatibilitási egyenlet anyagmodellekkel átalakított formájába: 2 2 2 2 2 ν ⎛ ∂ S ∂ S ⎞ ∂ ( σy + σz ) ∂ ( σy + σz ) ∂ σx − ⎜ + 2 2 ⎟ + + − = 2 2 2 1+ ν ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z ∂y ∂x (10.51) ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∂gx = − ⎜ + + ⎟ + 2 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x Helyettesítsük itt σ y +σ z értékét S − σx -szel: 2 1 1 ∂ S ⎛∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∂gx ∆S−∆σx − = − 2 . 2 1 ν 1 ν x + + + x y z (10.52) + + ∂ ⎜⎝ ∂ ∂ ∂ ⎟ ⎠ ∂x A másik két kompatibilitási egyenletből teljesen hasonló módon állítható elő két újabb, ehhez kapcsolódó egyenlet: 2 1 1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ ∂g z y ∆S − ∆σy − = − 2 , 2 ⎜ + + ⎟ + 1+ ν 1+ ν ∂y ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y (10.53) 2 1 1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∂gz ∆S − ∆σz − = − 2 . 2 ⎜ + + ⎟ + 1+ ν 1+ ν ∂z ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z Adjuk össze ezt a három egyenletet és fejezzük ki belőlük ∆S -t: 1 1 ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ ⎛ g z ∂g ∂ x y ∂g ⎞ z 3∆S − ∆S − ∆S = − 3⎜ + + ⎟ + 2 ⎜ + + ⎟, 1+ ν 1+ ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ (10.54) 1+ υ ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∆S = − ⎜ + + ⎟ . 1−υ ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ Ha ezt visszahelyettesítjük például a három közül az első egyenletbe, némi átalakítás után a következő egyenletet kapjuk: 2 1+ ν 1 ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z 1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∂g x − ⋅ ⎜ + + ⎟ − ∆σx − = − 2 , 2 ⎜ + + ⎟ + 1− ν 1+ ν ⎝ ∂x ∂y ∂ z ⎠ 1+ ν ∂x ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x 2 ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ⎛ 1 ⎞ ∂gx 1 ∂ S ⎜ + + ⎟⎜1− ⎟ − 2 = ∆σ x + , (10.55) 2 ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠⎝ 1− ν ⎠ ∂ x 1+ ν ∂x 10.06.20. 164 ∂x 2 ν ⎛ ∂g ∂g x y ∂g ⎞ z ∂g x 1 ∂ S − ⎜ + + ⎟ − 2 = ∆σ x + . 2 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂ x 1+ ν ∂x x
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat Hasonló módon megismételhetjük ∆ S behelyettesítését a második és harmadik egyenletbe, és így végül újabb két egyenlethez jutunk a normálfeszültségek és a tömegerők közötti kapcsolat leírására. A nyírófeszültségekre vonatkozó egyenleteket hasonló módon kapjuk. Deriváljuk például a második Cauchy-egyenletet z, a harmadikat pedig y szerint (éppen fordítva, mint az előbb), majd adjuk össze őket: 2 2 2 2 2 2 ∂ τ y x ∂ σy ∂ τ y z ∂ τ z x ∂ τ z y ∂ σ ⎛ g z ∂g ∂ ⎞ z y + + + + + =− + . 2 2 x z y z z x y y y z y z (10.56) ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠ Helyettesítsük be most az anyagmodellek egyenleteit az ötödik kompatibilitási egyenletbe (lásd a kilencedik előadást), majd ebbe az egyenletbe írjuk be az előzőleg a Cauchyegyenletek átalakításával kapott alakot: 2 2 ∂ σx ν ∂ S ∂ ⎡ ∂τ y z ∂τ z x ∂τ ⎤ x y − = − + + , (10.57) ∂y ∂ z 1+ ν ∂y ∂z ∂x ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 2 2 2 ∂ σ ∂ τ y z ∂ τ x z x ∂ τx y ν ∂ S + − − − = 0 . (10.58) 2 ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x∂ z 1+ ν ∂y ∂z Innen: 2 1 ∂ S ⎛∂g ∂g ⎞ z y ∆τ y z + = − + . 1 y z y z (10.59) + υ ∂ ∂ ⎜⎝ ∂ ∂ ⎟⎠ A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egyenlet segítségével újabb két képlethez jutunk. Összefoglalva a hat egyenletet: ∂g 2 1 ∂ S ν ∂g x y ∂g z ∂g x ∆σx + = − + + − 2 , 2 ⎜ ⎟ 1+ ν ∂x 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎛ ∂g ⎞ ∂g 2 1 ∂ S ν ∂g x y ∂gz y ∆σy + = − + + − 2 , 2 ⎜ ⎟ 1+ ν ∂y 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂y ⎛ ∂g ⎞ 2 1 ∂ S ν ∂g x y ∂gz ∂gz ∆σz + = − + + − 2 , 2 ⎜ ⎟ 1+ ν ∂z 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂z 2 1 ∂ S ⎛ ∂g y ∂g ⎞ x ∆ τ x y + = − ⎜ + ⎟ , 1+ υ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ 2 1 ∂ S ⎛ ∂g z ∂g ∆ τ x z + = − ⎜ + 1 + υ ∂x ∂z ⎝ ∂x ∂z 2 1 ∂ S ⎛ ∂g ∂g z ∆ τ y z + = − ⎜ + 1+ υ ∂y ∂z ⎝ ∂y ∂z ⎛ x y ⎞ ⎟ , ⎠ ⎞ ⎟ . ⎠ ⎞ (10.60) Ezeket az összefüggéseket Beltrami 152 -Michell 153 -egyenleteknek hívjuk, a peremfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az erőmódszer peremértékfeladatát. Megjegyezzük, hogy a tömegerők nélküli alakot szokás Beltrami-egyenleteknek nevezni. Eugenio Beltrami arcképe. 152 Eugenio Beltrami (1835 – 1899) olasz matematikus, elsősorban geometriával foglalkozott. 153 John Henry Michell (1863 – 1940) kiváló ausztrál matematikus. Beltrami és Michell részletes életrajza a tanszéki honlapról letölthető. 10.06.20. 165
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 163: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?