MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az eltolódás és elfordulás közötti (zárójelben lévő kifejezésből adódó) kapcsolati
egyenlet csak akkor igaz, ha mozgás kicsiny, hiszen ilyen esetben cos θ ≈ 1 és v = l θ .
Minden más esetben nem kompatibilisek egymással a tétel alapján vizsgálható
elmozdulások.
c./ Castigliano második tétele
Ez az eljárás – a virtuális erők tételéhez hasonlóan – arra alkalmas, hogy egy statikai
terhekkel, előírt deformációkkal és támaszmozgásokkal terhelt, rugalmas anyagú
szerkezet valamely pontjában a létrejövő eltolódás- vagy elfordulásvektor tetszőleges
irányú komponensét meghatározzuk.
Jelölje például P1 , P2
,......, P
m
a szerkezetre ható koncentrált terheket 229 . A terhek
támadáspontjai a terheletlen, deformálatlan állapothoz képest elmozdulhatnak. Jelölje
a továbbiakban u1, u2,......, u
m
a támadáspontokban a terheknek megfelelő irányú
elmozdulás-komponenseket 230 .
A szerkezet statikailag határozott vagy határozatlan egyaránt lehet. A reakciókat
jelölje R1 , R2,.., Rn , Rn+ 1,...,
Rn+ r
, ahol r a statikai határozatlanság foka, n pedig annyi,
ahány független egyensúlyi egyenlet írható fel az adott szerkezetnél (például általános
síkbeli erőrendszer esetén n=3 , általános térbeli erőrendszernél pedig n=6).
Az R1 , R2
,.., R
n
reakciók legyenek olyanok, hogy statikailag határozott megtámasztást
biztosítsanak (ez lényegében egy statikailag határozott „törzstartó” felvételének
tekinthető), R ,..., 1
R pedig az r darab „redundáns” reakció. A támaszoknál
n+ n+ r
legyenek adottak az előírt eɶ 1, eɶ 2,...., eɶ n, eɶ n+ 1,....,
eɶ n+
r
támaszmozgások 231 . Célunk a P
i
teher támadáspontjánál létrejövő u
i
elmozdulás meghatározása.
A terheletlen állapothoz viszonyított kiegészítő potenciált a P1 , P2
,......, P
m
statikai
terhek és az R ,..., n+ 1
Rn+ r
redundánsok, mint független változók függvényében
írhatjuk fel (a törzstartó reakcióit a statikai terhekből és a redundánsokból egyensúlyi
egyenletek segítségével ki tudjuk fejezni):
Π ɶ = Πɶ ( P,..., P , R ,...., R )
(F.105)
1 m n+ 1 n+
r
Vizsgáljuk meg, hogyan változik a külső és belső kiegészítő potenciál, ha a P
i
terhet
∆P i
-vel megváltoztatjuk. A keresett állapothoz tartozó u
i
elmozdulás a ∆ Pi
tehernövekményen ui
∆ Pi
kiegészítő munkát végez. A törzstartó reakcióin, amelyek
∆R1 , ∆R2,..., ∆ Rn
mértékben változnak meg azért, hogy a megváltozott teherrel fenn
tudják tartani az egyensúlyt, az előírt támaszmozgások végeznek kiegészítő munkát,
így a külső potenciál növekménye:
k i i j j
j=
1
n
∑
∆Π ɶ =−u ∆P − eɶ ∆R
(F.106)
229 Megjegyezzük, hogy a tétel megoszló terhekre is általánosítható, de ezzel most az egyszerűség
kedvéért nem foglalkozunk.
230 Ha P
i
erő, akkor u
i
eltolódást, ha pedig P
i
nyomaték, akkor u
i
elfordulást jelent.
231 Mint látni fogjuk, a „törzstartó” támaszainál ezeknek zérus értékűeknek kell lenniük ahhoz, hogy
a tétel érvényes legyen.
10.06.20. 272