MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egyensúlyi egyenletek hengerkoordináta-rendszerben
A kétdimenziós polárkoordináta-rendszerhez hasonlóan írható fel mindhárom egyensúlyi
egyenlet (a hengerkoordináta-rendszer megegyezik a harmadik előadáson bemutatottal):
∂σ
∂r
∂τ
r
r Θ
∂r
∂τ
r z
∂r
Kompatibilitási egyenletek
1 ∂τr
Θ ∂τ z r σr
− σΘ
+ + + + Fr
= 0 ,
r ∂Θ ∂z
r
(7.64)
1 ∂σ ∂τ 2τ
Θ z Θ r Θ
+ + + + FΘ
= 0 ,
r ∂Θ ∂ z r
(7.65)
1 ∂τ
Θ z ∂σ τ
z r z
+ + + + Fz
= 0 .
r ∂Θ ∂ z r
(7.66)
A kompatibilitási egyenleteket is bemutattuk már az alakváltozásoknál (a geometriai
egyenletekből származtatjuk őket az elmozdulás-komponensek kiküszöbölésével).
Ismétlésül a hat kompatibilitási egyenlet:
2 2 2
∂ εxy ∂ εy ∂ εx
2 = +
2 2
∂x∂y ∂x ∂y
2 2 2
∂ εyz
∂ ε ∂ ε
z
2 = +
2 2
∂y∂z ∂y ∂z
2 2 2
∂ εzx ∂ εx ∂ εz
2 = +
2 2
∂z∂x ∂z ∂x
2
2
∂ ⎡∂ε y z
∂ε
z x
∂ε ⎤ ⎡
x y
∂εz x
∂ε
z
z y
∂ε ⎤
y z ∂ ε ∂
∂ εx
+ − = , + − = ,
∂z ⎢ x y z ⎥ x y x ⎢ y z x ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂ ∂ ∂ ⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂y ∂z
2
∂ ⎡∂εx y
∂ε
y z
∂ε ⎤
z x
∂ ε
y
+ − = .
∂y ⎢ z x y ⎥
⎣ ∂ ∂ ∂ ⎦ ∂z ∂x
Megjegyezzük, hogy a most bemutatott alak nem pontosan ugyanaz, mint amit az
alakváltozások tárgyalásakor felírtunk. Gyakorlásul most az alakváltozástenzor jelöléseit
használtuk, és ebben az esetben a szögtorzulásoknál egy kettes szorzót kell mindig
figyelembe venni!
y
. (7.67)
A mechanika különböző megoldási technikáinál (lásd a következő előadások anyagát) ezek
az összefüggések fontos kiindulási eszközül szolgálnak.
A kompatibilitási egyenletek hengerkoordináta-rendszerben is felírhatók:
2
1 ∂ γ z Θ 1
−
2
r ∂ z ∂Θ r
∂
2
ε z
2
∂Θ
2
εΘ
2
∂
−
∂ z
1 ∂γ r
+
r ∂ z
z
1 ∂ε z
−
r ∂r
= 0,
∂
2
γ
r z
∂ r ∂ z
2
εr
2
∂
−
∂ z
2
ε z
2
∂
−
∂ r
= 0 ,
(7.68)
2
2
1 ∂ γ Θ r ∂ ε
−
r ∂Θ∂ r ∂ r
Θ
2
1
−
2
r
∂
2
εr
2
∂Θ
1 ∂ε r
+
r ∂ r
1
+
2
r
∂γ
r Θ
∂Θ
2 ∂ε
−
r ∂ r
Θ
= 0 ,
10.06.20. 110