MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
ε
12
= (1 + e1 ) dxsin γ61 / dx és ε
21
= (1 + e2 ) dysin γ
62
/ dy , (13.21)
így a két komponens közötti kapcsolati egyenlet:
(1 + e )sin γ = (1 + e )sin γ . (13.22)
1 61 2 62
A deformált elemre merőleges harmadik egységvektor a másik kettő ismeretében számítható:
ˆ
i1ˆ
× i2ˆ
i3 = i3 = = T31j1 + T32 j2 + T33 j3
, (13.23)
i × i
1ˆ
2ˆ
ahol
T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) / R , T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) / R , T = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ
) / R , (13.24)
31 12 23 13 22 0 32 13 21 11 23 0 33 11 22 12 21 0
R = ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ ) + ( Tˆ Tˆ − Tˆ Tˆ
) = i × i = cos γ .
2 2 2
0 12 23 13 22 13 21 11 23 11 22 12 21 1ˆ
2ˆ
6
Az i1ˆ
és i2ˆ
valamint i3
egységvektorok felhasználásával felírható az x,y,z illetve ξ, η,
ζ
rendszerek közötti kapcsolat. Mátrixokkal:
⎡i ⎤ ⎡
1
i ⎤ ⎡
ˆ j ⎤ ⎡Tˆ 1 11
Tˆ 12
Tˆ
⎤
13 ⎡ j ⎤
1
1
i ˆ ˆ ˆ 2
= Γ⋅ i 2ˆ
T j 2
T21 T22 T
23
j
= ⋅ =Γ⋅ 2
,
(13.25)
i 3
i ⎢ 3ˆ
j ˆ ˆ ˆ
3 T j
31
T32 T
⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ 33
⎢⎣ 3
⎢ ⎥
⎥
⎣
⎦
⎦
ahol
−1
⎡cos γ61 sin γ61 0⎤ ⎡ cos γ62 −sin γ61
0 ⎤
1
Γ=
sin γ62 cos γ
62
0 = −sin γ62 cos γ61
0
. (13.26)
cos
γ6
⎢ 0 0 1 ⎥ ⎢ 0 0 cos γ
⎣ ⎦ ⎣ 6⎥⎦
Az irányvektorok változásait (a vektorok előbb megadott képleteit valamint a transzformáló
mátrix ortogonalitási tulajdonságát – inverze egyenlő a transzponáltjával – kihasználva) az
előző pontban bemutatott módon lehet kiszámítani. Mivel
∂i j
∂i j
∂i j ∂i
∂i
k
j ∂ik
⋅ i
j
= ⋅ i
j
= 0 , ⋅ ik = − ⋅i j
, ⋅ ik = − ⋅i
j
,
(13.27)
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
így a változásokat megadó deriváltak az alábbi módon számíthatók:
⎡i1,x ⋅i1 i1 ,x
⋅i2 i1 ,x
⋅i3
⎤
∂i
⎢ ⎥
= K1 ⋅ i , ahol K = i
1 2,x i1 i2,x i2 i2,x
i3
x
⎢
⋅ ⋅ ⋅
⎥
=
(13.28)
∂
⎢
⎣i3,x ⋅i1 i3,x ⋅i2 i3,x
⋅i
⎥
3 ⎦
⎡ 0 k5 −k1
⎤
∂T
T 0 T
=
⎢
k5 0 k
⎥
⎢
− −
61⎥ = T + T K T .
1
∂x
⎢⎣
k1 k61
0 ⎥⎦
⎡i1,y ⋅i1 i1,y ⋅i2 i1,y
⋅i
⎤
3
∂i
⎢ ⎥
= K
2
⋅ i , ahol K = i
2 2,y i1 i2,y i2 i2,y
i3
y
⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⎥ =
(13.29)
∂
⎢i3,y ⋅i1 i3,y ⋅i2 i3,y
⋅i
⎥
⎣
3 ⎦
⎡ 0 k4 −k62
⎤
∂T
T 0 T
=
⎢
k4 0 k
⎥
⎢
− −
2
⎥
= T + T K T .
2
∂y
⎢⎣
k62 k2
0 ⎥⎦
A K mátrixok ismét a görbületeket tartalmazzák, de most a deformált állapotban adják meg
ezek értékét. Az egyes elemek:
10.06.20. 207