MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika MSc Előadásvázlat 12. Előadás: Hajlított gerendák 2D modelljei kis elmozdulások és dinamikus hatások esetén. Rugalmasan ágyazott gerendák A gerendák minden lehetséges mechanikai részletre kiterjedő viselkedésének modellezése a szerkezet látszólagos „egyszerűsége” ellenére még ma sem teljesen megoldott, vizsgálatuk az aktívan kutatott területek közé tartozik. Mérnöki szempontokat és igényeket figyelembe vevő számításuk ma lényegében háromféle modell segítségével történik: - Bernoulli-Navier-féle „klasszikus” modell 171 : a számítás alapvetően a hajlítás hatásának figyelembevételére épül. Elsősorban homogén és izotrop anyagú, tömör keresztmetszetű gerendák vizsgálatára alkalmas. - Nyírási modellek: a hajlítás mellett a nyírási torzulások hatását is figyelembe veszik az alapvető egyenletek megformálásánál. Első változatukat már Saint- Venant megfogalmazta a XIX. század második felében, legismertebb képviselőjüket, az úgynevezett Timoshenko-féle (lásd a négyes számú lábjegyzetet) lineáris változatot 172 1921-ben publikálták. Ez a modell jól használható réteges felépítésű gerendák mechanikai jellemzőinek számítására. - Kontinuummechanikai modellek: 2D vagy 3D szilárdságtani elméletek alapján felépített változatok tartoznak ebbe a családba. Elsősorban bonyolult geometria, erősen változó és/vagy szabálytalan belső üregrendszerrel terhelt keresztmetszet, jelentős geometriai és anyagi nemlinearitás esetén használják. Különösen előnyös akkor, amikor az anyagi nemlinearitást különböző minőségű rétegekben kell követnünk. Megjegyezzük, hogy mindhárom leírásmód végeselemes modellezésére láthatunk példát a párhuzamosan futó MSc tárgyakban. Az első kettővel a „Végeselemes modellezés matematikai alapjai”, a harmadikkal a „Végeselemes modellezés – nemlineáris feladatok vizsgálata” c. tárgy foglalkozik. A továbbiakban kizárólag kétdimenziós, homogén, izotrop és lineárisan rugalmas anyagú gerendák alapvető egyenleteinek erős alakjaival foglalkozunk. A figyelembe veendő mozgások kicsik, de az egyenleteknél figyelembe vesszük a dinamikai hatásokra létrejövő eltolódásokat (kis rezgéseket) is. Megjegyezzük, hogy a kezdeti feltételeket (t =0 pillanathoz tartozó sebesség és igénybevétel-függvényeket) mindegyik modellnél ismertnek tételezzük fel. 2D hajlított gerenda Bernoulli 173 -Navier-féle („klasszikus”) modellje 171 Érdemes elolvasni a modell létrehozásának mintegy 400 éves történetét bemutató összefoglalót. „Bernoulli, Navier és a klasszikus gerendaelmélet” címmel megtalálható a Tanszék honlapján. 172 Timoshenko, S. P. : „On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars”, Philosophical Magazine, Vol. 41, pp. 744-746, 1921. 173 Jacob Bernoulli (1654 – 1705) svájci matematikus, a híres matematikus-dinasztia első képviselője, életéről az 1. sz. lábjegyzetben említett összefoglalóban olvashatunk. 10.06.20. 188
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvázlat A 12.1 ábra változatai a gerendamodellnél használt koordinátarendszert, a létrejövő elmozdulásokat és a belső igénybevételeket ábrázolják (z tengely az ábra síkjára merőleges). A vizsgált rúd teljes hosszát L-lel jelöljük, u1, u2 és u 3 a gerenda egy tetszőleges pontjánál az x, y és z – jobbkezes rendszert alkotó – tengelyeknek 174 megfelelő eltolódások, s belső lokális koordináta pedig a tengelyvonal mentén értelmezett ívhossz. A modell alapfeltételezése szerint azok a keresztmetszetek, melyek a deformáció mentes állapotban merőlegesek a rúd súlyponti tengelyére, a deformálódott állapotban is síkok maradnak és továbbra is merőlegesek lesznek a tengelyre, vagyis ebben a modellben nincs nyírási szögtorzulás ( ε 12 = 0). A gerenda keresztmetszeti súlypontjának tengelyirányú u eltolódását szintén elhanyagoljuk, így egyetlen változó (v(s,t), az y tengely irányú eltolódás) jellemzi a rúd elmozdulásait. 12.1. ábra: A Bernoulli-Navier-modell alapvető változói A dinamikus állapot y irányban felírt egyensúlyi egyenlete (Newton második törvénye): F ′ ds cosΘ + q ds= mdsvɺɺ , (12.1) 2 3 2 174 A x,y és z tengelyek jelölésére a továbbiakban gyakran használjuk az 1,2 és 3 sorszámozást. Megjegyezzük, hogy az erők és nyomatékok vektorai a tengelyek irányában pozitívak. Ennek megfelelően F 1 normálerőt, F 2 nyíróerőt, M 3 pedig hajlítónyomatékot jelent, stb. 10.06.20. 189
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 187: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?