MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
1⎛
∂u i
∂u j
∂u k
∂u
⎞
k
E
i j
= 2
⎜ + + . (2.8/b)
⎜∂X j
∂X i
∂X i
∂X
⎜⎝
j ⎠⎟
A másodrendű tenzor hat darab független skalár eleme a definíció figyelembevételével:
2 2 2 2 2 2
∂ u 1 ⎡⎛ ∂ u ⎞ ⎛ ∂ v ⎞ ⎛ ∂ w ⎞ ⎤ ∂ 1
E11 , E
v ⎡⎛ ∂ u ⎞ ⎛ ∂ v ⎞ ⎛ ∂ w ⎞ ⎤
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ 22
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ , (2.9)
∂X 2 ⎢⎣ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎝ ∂X ⎠ ⎥⎦ ∂Y 2 ⎢⎣ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Y ⎠ ⎝ ∂Y
⎠ ⎥⎦
2 2 2
∂w 1 ⎡⎛ ∂u ⎞ ⎛ ∂v ⎞ ⎛ ∂w
⎞ ⎤ 1 ⎛ ∂u ∂v ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
⎞
E33
= + ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ , E12
= ,
∂Z 2 ⎢⎣
⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z ⎠ ⎝ ∂Z
⎜ + + + + ⎟
⎠ ⎥⎦
2 ⎝ ∂Y ∂X ∂X ∂Y ∂X ∂Y ∂X ∂Y
⎠
1 ⎛ 1
E
∂u ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w ⎞ ⎛
13
, E
∂v ∂w ∂u ∂u ∂v ∂v ∂w ∂w
⎞
= ⎜ + + + + ⎟ 23
= ⎜ + + + + ⎟.
2 ⎝ ∂Z ∂X ∂X ∂Z ∂X ∂Z ∂X ∂Z ⎠ 2 ⎝ ∂Z ∂Y ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z ∂Y ∂Z
⎠
A Green-Lagrange-tenzor teljesíti az alakváltozás-tenzorokra a bevezetőben előírt feltételt,
hiszen elemei zérussá válnak az
x = R⋅ X + x T
(2.10)
merevtestszerű mozgás esetén. Mivel ilyenkor F = R , az alakváltozás tenzor zérus lesz:
1 1
E= ( R T ⋅ R -I) = ( I -I) = 0.
(2.11)
2 2
Megjegyezzük, hogy egydimenziós esetben a Green-Lagrange-tenzor E
11
eleme kifejezhető
az 1D elemhosszakkal, illetve a korábban már bemutatott egydimenziós alakváltozás
jellemzőivel:
2 2
l −l0
1 1 2
E11 = = ε (1 ) ( 1).
2 x
+ ε
x
= λx
− (2.12)
2l
2 2
Az Almansi 16 -Hamel 17 -féle alakváltozási tenzor
0
Ha az elemi szál hossznégyzetének változását a pillanatnyi (euleri) rendszer segítségével
fejezzük ki, akkor a Green-Lagrange-tenzor „párjaként” az Almansi-Hamel-féle
alakváltozás-tenzort definiáljuk (Euler-Almansi-féle alakváltozás-tenzornak is nevezik):
2 2 1 −T
−1
ds − dS = 2dx⋅e⋅ dx → e = ⎡I -F ⋅F
⎤
2 ⎣ ⎦ .
(2.13)
Látható, hogy itt is a gradiens-tenzort használjuk alapvető változóként, csak most az
inverzére van szükségünk. Az elmozdulások segítségével felírható geometriai egyenletek:
1 T
T
e = ⎡( ∇ u) +∇u-( ∇u) ⋅( ∇u)
⎤
2 ⎣ ⎦ . (2.14)
Ez a tenzor is szimmetrikus.
Egydimenziós állapotban az Almansi-Hamel-tenzor eleme is kifejezhető a klasszikus 1D
jellemzőkkel:
16 Emilio Almansi (1869 – 1948) olasz matematikus és mechanikus, elsősorban a nemlineáris
rugalmasságtan különböző feladataival foglalkozott.
17 Georg Karl Wilhelm Hamel (1877 – 1954) német matematikus és mechanikus, főleg az elméleti
mechanika és az áramlástan különböző kérdéseinek vizsgálatáról ismert.
10.06.20. 18