MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A képletben az F tenzor a szorzat bal oldalán szerepel. Itt is pontosabb név a „deformációs”
tenzor. A b tenzor használatával az e Almansi-Hamel-tenzor az alábbi formát ölti:
1 1
e= ( I -b − ) . (2.20)
2
Az e és b közös neve: térbeli alakváltozás-tenzorok. Megjegyezzük, hogy az itt bemutatott
változatokat elsősorban a polimerek mechanikájában és a biomechanikában alkalmazzák.
Kis alakváltozások
Kis alakváltozások esetén az alakváltozások másodrendű tenzorát ε -nal jelölik. Ez a tenzor
az eddigiekből a legegyszerűbben a Green-Lagrange-tenzor másodrendű elemeinek
elhanyagolásával állítható elő. Mivel kis alakváltozások esetén a Lagrange-koordináták
megegyeznek az Euler-koordinátákkal, az egyszerűség kedvéért ebben az esetben nagy X
helyett általában kis x szimbólumot használunk.
A tenzor főátlóbeli elemei a fajlagos mérnöki nyúlásokat, az alsó- és felső háromszög elemei
pedig a mérnöki szögtorzulásokat jelölik. A 2.21 alatti egyenletnél a második mátrixban
minden egyes elemet a hozzá rendelhető geometriai egyenlettel adtunk meg (összevetve
ezeket a korábban hasonló módon bemutatott Green-Lagrange-tenzor elemeivel, azonnal
észrevehető a másodrendű hatások elhanyagolása):
⎡
1 1
∂u 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ 1 ∂u ∂w
⎤
⎡ ⎤
⎛ ⎞
⎢
⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
⎢ ε
x
γ
x y
γ
x z
2 2 ⎥ ⎢
∂x 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ∂x
⎠⎥
⎢ ⎥
1 1 ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ∂v 1 ⎛ ∂v ∂w
⎞⎥
ε = ⎢ γ
y x
ε
y
γ ⎥
y z
= ⎢ ⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟⎥
. (2.21/a)
⎢ 2 2 ⎥ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂y 2 ⎝ ∂z ∂y
⎠⎥
⎢
1 1
⎥ ⎢ ⎥
⎢ γ 1 w u 1 w v w
z x
γ ⎥ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ∂ ⎞ ∂
z y
ε
z ⎢
⎥
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥ ⎜ + ⎟ ⎜ +
⎢ ⎟
⎣ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ∂z
⎥
⎦
Ugyanez az összefüggés az elmozdulások (illetve az elmozdulás-gradiens tenzor)
segítségével tömörebb alakban:
1 T 1
T
ε = (( ∇ u) +∇ u ) = ( H + H ).
(2.21/b)
2 2
Megjegyezzük, hogy az építőmérnöki feladatok nagy részében a kis alakváltozások
megfelelő közelítést jelentenek, ezért ezt a tenzort sokszor használjuk különféle mechanikai
számításokban. Néhány (részben emlékeztető jellegű) megjegyzés:
- A tenzor egyes elemeinek mechanikai jelentésével már a BSc Szilárdságtanban
4 alatt említett tankönyv vonatkozó részeit).
foglalkoztunk (lásd a [ ]
- Az ε tenzor komponenseit gyakran másféleképpen jelölik. A szakirodalomban
szokásos, és egyes fejezetekben általunk is használt egyéb felírási módok:
⎡ε xx
ε
x y
ε ⎤ ⎡
x z
ε
11
ε
12
ε ⎤
13
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
ε = ⎢ε y x
ε
y
ε
y z ⎥ = ⎢ε 21
ε
22
ε
23 ⎥ .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ε z x
ε
z y
ε
z ⎦ ⎣ε 31
ε
32
ε
33 ⎦
A különböző jelölési módok egymás közötti cseréjekor a szögtorzulásoknál
mindig ügyelnünk kell az ½-es szorzó figyelembevételére, a Voigt-féle
kinematikus szabály (lásd a Függeléket) pontosan ennek betartására születetett.
10.06.20. 21