MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
+ G
∂e
+ G∆ u + gx
= 0,
∂x
+ G
∂e
+ G∆ v + g y = 0,
∂y
( λ )
( λ )
∂e
+ G + G∆ w+ gz
= 0.
∂z
( λ )
(10.24)
Ezeket az egyenleteket a mechanikában Navier 145 -Lamé 146 -egyenleteknek hívják. Ez a
rendszer (a feladathoz tartozó peremfeltételekkel együtt) az elmozdulásmódszer alapvető
peremértékfeladati alakja.
Navier-t ábrázolja a bal oldalon,
Lamé-t pedig a jobb oldalon
látható kép.
Megjegyzés: Ha kvázistatikus folyamatok helyett dinamikai vizsgálatokra van szükségünk, a
fenti egyenletrendszernek csak a jobb oldala lesz más, az egyes gyorsulásfüggvényeknek a
tömeg (sűrűség) függvénnyel való szorzatát kell az egyensúlyt kifejező zérus helyére írni:
2
∂e
∂ u
( λ + G)
+ G∆ u + gx
= ρ ,
2
∂x
∂t
∂e
∂ v
+ G + G∆ v + g y = ρ ,
2
∂y
∂t
( λ )
∂e
∂ w
+ G + G∆ w+ gz
= ρ .
2
∂z
∂t
( λ )
2
2
(10.25)
A Navier-Lamé-egyenletek felírása a potenciális energia minimumfeltétele
felhasználásával
Az egyszerűség kedvéért csak egységnyi vastagságú tárcsán síkbeli feszültségállapot esetére
mutatjuk be a levezetést, de ez nem csorbítja az általánosság érvényét. A felhasznált változók
és a geometriai egyenlet mátrix alakban:
⎡ ⎤
⎡ σ ⎤ ⎡ ⎤
∂ 0
⎡ g ⎤
x
⎡u⎤
x
εx
∂x
g = , u = , σ=
σ
,
⎢g
⎥
y
⎢
y ⎣v⎦
⎥
ε=
εy
,: ε = L⋅ u,
L= 0 ∂
, (10.26)
y
⎣ ⎦
τ
∂
⎢⎣
x y ⎥⎦
⎢⎣
γx y ⎥
⎦
∂ ∂
⎢⎣
∂y
∂x⎥⎦
A potenciális energia minimumfeltétele jelen esetben:
145 Claude Louis Marie Henri Navier (1785 – 1836) híres francia építőmérnök, a modern
gerendaelmélet létrehozója, az első színvonalas építőmérnök-képzés megszervezője.
146 Gabriel Lamé (1795 – 1870) francia matematikus, sokat foglalkozott mechanikai feladatokkal is.
Lamé és Navier részletes életrajza a tanszéki honlapon megtalálható.
10.06.20. 159