MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika MSc Előadásvázlat A feladat feltételezett megoldását vesszük fel egy „Ansatz” (egy matematikai „sejtés”) és a peremfeltételek segítségével, majd pedig fokozatos módosítással-próbálgatással közelítjük a „pontos” eredményt. Tipikus mechanikai példák az ilyen vizsgálati technikára a 2D és 3D rugalmasságtani és törésmechanikai feladatok feszültségfüggvényes megoldásai. B2./ A peremértékfeladat diszkretizált megoldása („differenciamódszer”) A módszer a differenciálegyenleteket differenciaegyenletekké alakítja át. A peremértékfeladathoz tartozó (1, 2D vagy 3D) tartományt jellegének megfelelő ráccsal lefedve az egyes rácspontokban (illetve környezetükben) keressük a feladat ismeretlen függvényeinek diszkrét értékeit. Tranziens illetve egyensúlyi feladatok vizsgálatára egyaránt alkalmas, de bonyolult geometria és peremfeltételrendszer illetve jelentős mértékben változó szilárdsági viszonyok esetén alkalmazása nehézkessé válik. B3./ Hibavektor típusú feladatmegfogalmazás Ez tekinthető ma a leghatékonyabb numerikus technikának mind nemlineáris, mind lineáris operátorú feladatok vizsgálatára. Tárgyalása túllép a „Mechanika MSc” témakörén, ezért részletes elemzését a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” c. tárgy keretében adjuk meg, most csak egy tömör, egyszerűsített összefoglalót adunk róluk. A hibafeltételt többnyire kétféle különböző kritérium alapján szokás felvenni: a./ Vetületi, vagy más néven ortogonalitási feltétel: A kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális. u ∈ D , Lu = f ⇒ Lu − f , v = 0 . (10.15) 0 L 0 Az L operátor általános esetben nemlineáris. Ezt a megoldási módot nemlineáris operátorú vagy stacionaritási feltétellel nem rendelkező lineáris operátorú peremértékfeladatoknál alkalmazzák elsősorban (lásd Galjorkin 139 -módszer). b./ Hossz- vagy más néven stacionaritási feltétel: A hibavektor kiválasztása után felírt bilineáris alak értéke legyen minimális. Egy lehetséges felírási módja: 1 u0 ∈ DL , Lu = f ⇒ F( u) = Lu, u − f , u = stac. (10.16) 2 Itt L lineáris és pozitív operátor. Ez a vizsgálati módszer főleg lineáris egyensúlyi feladatok elemzésénél hatékony (lásd a Ritz 140 -módszer technikáját). Akár az „a”, akár a „b” módszert alkalmazzuk, a hibafeltételek alapján történő számítás végső soron egy inhomogén (vagy homogén), lineáris (vagy nemlineáris) egyenletrendszer megoldásához vezet. 139 Borisz Grigorjevics Galjorkin (1871 – 1945) kiváló fehérorosz mérnök. 140 Walter Ritz (1878 – 1909) tragikusan fiatalon elhunyt híres svájci fizikus. Ritz és Galjorkin életrajza a tanszéki honlapon megtalálható. 10.06.20. 156
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvázlat Megjegyezzük, hogy a mechanikai feladatokhoz kapcsolódó nemlineáris egyenletrendszerek megoldási technikáiról a 8. előadásban egyensúlyi feladatok esetére már ismertettünk egy algoritmust. Kifejezetten részletesen ezeket a matematikai eljárásokat csak a végeselemek technikájával foglalkozó tárgyaknál, ott is elsősorban a nemlineáris feladatok körében mutatjuk majd be (Newton-Raphson 141 módszer, feltételes szélsőértékek módszere: Lagrange-szorzók és büntetőfüggvények használata, explicit-implicit időintegrálási technikák, stb). A „Nemlineáris végeselemmódszer” c. tárgyban foglalkozunk azokkal a speciális iterációs technikákkal is, amelyek az egyes tranziens jelenségek leírásához (elsősorban az időintegrálási lépésekhez) szükségesek (Runge 142 -Kutta 143 -, Euler-, Newmark 144 - módszerek, stb). A feladatok osztályozása mechanikai szempontok alapján A mechanikai szempontok szerinti osztályozás alapvetően a feladatban szereplő elsődleges ismeretlen változó jellegétől függ (maguk a feladatok matematikai formájukat tekintve természetesen lehetnek peremérték vagy pedig variációs feladatok). Három nagy csoportot különböztetünk meg: A./ Elmozdulás típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok Az ismeretlen változók mozgás jellegűek: elmozdulás-, sebesség- vagy gyorsulásmezők, esetleg (ritkábban) alakváltozásmezők. Az egyensúlyi feladatok vizsgálatának körén belül (itt a sebességmező a kvázistatikus terhelési folyamatok miatt zérus) ezt a változatot elmozdulásmódszernek nevezik. A peremfeltételeknek az extenzív változókra kell vonatkozniuk. B./ Erő típusú ismeretlen változókat tartalmazó feladatok Az ismeretlen változók kapcsolati erő-, igénybevétel- vagy feszültségmező jellegűek. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a változatát erőmódszernek nevezzük. A peremfeltételeknek az intenzív változókkal kell kapcsolatot teremteniük. C./ Vegyes módszerek Az ismeretlen függvények extenzív és intenzív típusú komponenseket egyaránt tartalmaznak. Az egyensúlyi feladatoknál ezt a technikát vegyes módszernek nevezik. A peremfeltételeket mindkét változótípus esetében ki kell elégíteni. Ezt az eljárást a „Végeselemmódszer matematikai alapjai” című jegyzetben tárgyaljuk. 141 Joseph Raphson (1648 – 1715) angol matematikus. Newtontól függetlenül dolgozta ki iterációs eljárását nemlineáris feladatok vizsgálatára. 142 Carl David Tolme Runge (1856 – 1927) német matematikus és fizikus. Elsősorban numerikus analízissel foglalkozott. 143 Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944) német matematikus, differenciálegyenletekkel illetve aerodinamikai vizsgálatokkal kapcsolatos munkáiról ismert. 144 Nathan Mortimore Newmark (1910 – 1981) amerikai építőmérnök. Sokat tett a modern numerikus módszerek statikai és szilárdságtani számításokba történő bevezetéséért. 10.06.20. 157
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 155: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
Page 215 and 216:
Page 217 and 218:
Page 219 and 220:
Page 221 and 222:
Page 223 and 224:
Page 225 and 226:
Page 227 and 228:
Page 229 and 230:
Page 231 and 232:
Page 233 and 234:
Page 235 and 236:
Page 237 and 238:
Page 239 and 240:
Page 241 and 242:
Page 243 and 244:
Page 245 and 246:
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
Page 251 and 252:
Page 253 and 254:
Page 255 and 256:
Page 257 and 258:
Page 259 and 260:
Page 261 and 262:
Page 263 and 264:
Page 265 and 266:
Page 267 and 268:
Page 269 and 270:
Page 271 and 272:
Page 273 and 274:
Page 275 and 276:
Page 277 and 278:
Page 279:
show all

MECHANIKA - MSc

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?