MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Egyszerű összehasonlítással kimutatható, hogy például a Truesdell- és a Jaumann-sebességek
megegyeznek, ha az anyagban nincs deformáció. Alakváltozások jelenlétében azonban a két
érték eltérő lehet, így a fizikai alapokon megkövetelhető azonosság csak akkor biztosítható a
kétféle modell között, ha különböző anyagmodelleket használunk a kétféle sebesség-
modellben.
4.3 Példa
Vizsgáljunk meg egy testet, amely az x-y síkban az origó körül ω szögsebességgel forog és
nézzük meg, hogyan alkalmazható rá például a Jaumann-féle sebességmodell, hogyan lehet
kiszámítani a fizikai feszültségek tenzorát.
A test kezdeti konfigurációját a következő ábra bal oldali képén láthatjuk:
4.9. ábra. Elforduló test vizsgálata
Az elfordulást a következő tenzorok jellemzik (lásd az 1.2 példát):
⎡x⎤ ⎡cosω
t −sinω
t⎤ ⎡X
⎤
x ( t
) = R ( t
) X
⇒ ⎢ .
y
⎥ = ⎢
sin t cos t
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ω ω ⎦ ⎣ ⎦
⎡vx
⎤ ⎡x&
⎤ ⎡−sinω
t −cosω
t⎤ ⎡X
⎤
A sebességvektor: ⎢ v
⎥ = ⎢ ω
y y
⎥ = ⎢
cosω
t sinω
t
⎥ ⎢
Y
⎥.
⎣ ⎦ ⎣ & ⎦ ⎣ − ⎦ ⎣ ⎦
A gyorsulásvektor anyagi koordinátákkal:
⎡ ax
⎤ ⎡ v&
x
⎤
2 ⎡−cosω
t sinω
t ⎤ ⎡X
⎤
⎢ = = ω
a
⎥ ⎢
y
v
⎥ ⎢
y
−sinω
t −cosω
t
⎥ ⎢
Y
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣
&
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
A gradiens-tenzor, valamint inverze és idő szerint deriváltja a következőképpen
adható meg:
∂x
⎡ cosω
t −sinω
t ⎤ −1
⎡ c s ⎤ ⎡−s −c⎤
F = R = = ∂ X
sin
cos
, F = , F&
⎢ , ahol
ω t ω t
⎥ ⎢ s c
⎥ = ω ⎢ c s
⎥
⎣ ⎦ ⎣−
⎦ ⎣ − ⎦
c = cos ω
t , s =
sin ω
t
.
A sebesség-gradiensgradiens tenzor az F tenzor segítségével számítható:
−1 ⎡−s −c⎤ ⎡ c s⎤ ⎡ −
⎤
L=F& 0 1
⋅ F = ω ⎢ =ω
c −s ⎥ ⎢
−s c
⎥ ⎢
1 0
⎥ .
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Innen a spin-tenzor:
1
⎡0 −1⎤
W = ( L − L T ) =ω
2
⎢
1 0 ⎥
⎣ ⎦ .
10.06.20.
58