MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Az energiamérleg elve azt jelenti, hogy a vizsgált rendszerben a teljes energia megváltozása
(a teljesítmény) egyenlő a tömeg- és felületi erők munkaváltozásának (teljesítményének)
illetve a rendszerben figyelembe vehető hő (hőforrás, hőáram) hatásának összegével 94 :
teljes belső
P = P
kin külső
+ P = P
hő
+ P . (7.29)
Az egyes tagok részletesen:
belső D belső
kin D 1
P = W dV P
dV
Dt
∫ρ
, =
Dt
∫ ρ v ⋅ v ,
2
(7.30)
P
külső
=
V
hő
∫ ⋅ρb
dV + ∫ v ⋅ t dS P = ∫ρr dΩ −∫
V
v , n ⋅ qdS
. (7.31)
V S V
S
A képletekben q az egységnyi felületen kiáramló hőt, r pedig az egységnyi térfogatra
vonatkozó hőforrást jelenti. Ez a mérlegegyenlet már szerepelt az anyagmodellek egyes
tulajdonságainak bemutatásakor, mint a termodinamika első főtétele.
A teljes egyenlet részletesen (a korábban alkalmazott u jelölés helyett most (az ötödik
belső
előadáson bevezetett) W jelölést használjuk):
D ⎛ belső 1 ⎞
∫⎜ρW
+ ρ v ⋅ v⎟dV
= ∫ v ⋅ρb
dV + ∫ v ⋅ t dS + ∫ρr dV −∫n
⋅q
dS . (7.32)
Dt
V ⎝ 2 ⎠ V S
V S
Az egyes tagok tovább módosíthatók a Reynolds-képlet 3. lábjegyzetben említett speciális
változatának illetve a Gauss-féle integráltételnek a segítségével (az anyagmodelleknél már
bemutatottakhoz hasonlóan végezve az átalakításokat):
belső
D ⎛ 1 ⎛
belső
DW 1 D( v v)
⎞
W v v
⎞
dV ⋅ dV
Dt
∫ ρ + ρ ⋅ = ρ + ρ =
⎝⎜
2 ⎠⎟
∫ ⎜
Dt 2 Dt ⎟
(7.33)
⎝ ⎠
V
⎛ belső
DW
Dv⎞ = v
∫ ⎜
ρ + ρ ⋅
dV ,
⎜⎝ Dt
Dt ⎠⎟
V
∫ ∫ ∫
S S V
V
( )
v ⋅ t dS= n ⋅ σ ⋅ v dS = D: σ + ( σ ⋅∇) ⋅ v dV . (7.34)
Itt D most az alakváltozás-sebesség tenzort jelenti (megjegyezzük, hogy az átalakítás során
T
felhasználtuk a Függelékben megadott div( A u) = div A ⋅ u + A : grad u összefüggést).
Behelyettesítve ezeket az előbbi összevont alakba, és a hőhatásoknál is alkalmazva a Gausstételt,
majd az egészet nullára rendezve a következőt kapjuk:
belső
DW
Dv
∫ ( ρ − D : σ + ∇ ⋅q
−
ρ r + v ⋅(
ρ − σ ⋅∇ − ρb) ) dV = 0 . (7.35)
Dt
Dt
V
A zárójelbe tett utolsó három tag a mozgásmennyiség tételét írja le, ezért ez zérus lesz a
kifejezésben. Ezek után – figyelembe véve, hogy a kifejezésnek bármilyen tartomány esetén
igaznak kell lennie – az integrál elhagyásával kapjuk az energiamérleg végső alakját:
belső
DW
ρ = D: σ −∇ ⋅q + ρ r . (7.36)
Dt
Ha a hőhatásoktól eltekintünk, akkor az egyszerűsített változat:
belső
DW
ρ = D: σ . (7.37)
Dt
Az általános alak Lagrange-rendszerben is megadható:
94 Milétoszi Thálész (624 – 546) görög filozófusnál olvashatunk első változatáról, majd Galilei
munkáiban fordult elő. Első matematikai megfogalmazása Gottfried Wilhelm Leibnitztől (1646 –
1716) származik (lásd az ötödik fejezet negyedik lábjegyzetét).
10.06.20. 102