MECHANIKA - MSc

More documents

Recommendations

Info

Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat - Egy tenzort ortogonális tenzornak hívunk, ha a transzponáltjával való szorzata egységtenzort ad eredményül: T T Q Q = Q Q = I . (F.32) Ilyen tenzorral transzformálva két, egymáshoz képest θ szöget bezáró vektort, a transzformálás után sem a vektorok hossza, sem a köztük levő szög nem változik, vagyis: Q u⋅Q v = u ⋅ v . (F.33) Ezt a transzformációt ábrázolja a következő ábra: F.1. ábra: Ortogonális transzformáció - Voigt 206 szabálya: szimmetrikus másodrendű tenzorok vektorba rendezésére fogjuk használni, a mechanikai egyenletek felírásánál lesz igen hasznos. A szabály megkülönbözteti a feszültség- (kinetikus Voigt-szabály), illetve az alakváltozástenzorok (kinematikus Voigt-szabály) elemeinek átrendezését: a./ Kinetikus Voigt-szabály: σ = σ σ 11 ⎡ 11 12 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 22 21 ⎥ ⇒ σ= ⎢ σ ⎥ ⎣σ σ 22 ⎦ ⎢σ ⎥ 12 b./ Kinematikus Voigt-szabály: ε = ⎡ε ⎢ ⎣ ε 11 21 ε ε 12 22 ⎡σ ⎣ ⎡ ε ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ε = ⎢ ε ⎦ ⎢⎣ 2ε 11 22 12 ⎤ ⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦ , σ = , ε = ⎡σ ⎢ ⎢ σ ⎢⎣ σ ⎡ε ⎢ ⎢ ε ⎢⎣ ε 11 21 31 11 21 31 ε ε ε σ σ σ 12 22 32 12 22 32 ε ε ε σ σ σ 13 23 33 13 23 33 ⎡σ ⎢ ⎤ ⎢ σ ⎥ ⎢σ ⎥ ⇒σ= ⎢ ⎥ ⎢σ ⎦ ⎢σ ⎢ ⎢⎣ σ ⎡ ε ⎢ ⎤ ⎢ ε ⎥ ⎢ ε ⎥ ⇒ε = ⎢ ⎥ ⎢2ε ⎦ ⎢2ε ⎢ ⎢⎣ 2ε 11 22 33 23 13 12 11 22 33 23 13 12 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . (F.34) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ . (F.35) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ 206 Woldemar Voigt (1850 – 1919) német fizikus, elsősorban kristályfizikai kutatásairól ismert. 10.06.20. 252
Bojtár: Mechanika <strong>MSc</strong> Előadásvázlat Magasabbrendű tenzorok Elsősorban az anyagmodellek bemutatásakor illetve használatakor lesz rájuk szükségünk. Vastag nagybetűkkel 207 fogjuk őket jelölni: C, D,…. Megjegyzések a magasabbrendű tenzorokhoz: - Egy n-ed rendű tenzor általános alakja: Ai 1 i2 ..... i e e ...... e n i ⊗ 1 i ⊗ ⊗ 2 i . Mechanikai n számításainkban elsősorban negyedrendű tenzorokra lesz szükségünk, ezeknek 4 3 = 81 elemük van, hiszen indexes jelöléssel alakjuk A i j k l módon írható fel. - Ha két másodrendű tenzort (A és B) tenzorszorzattal kapcsolunk össze, akkor egy negyedrendű D tenzort kapunk: D = A ⊗ B ↔ D i j k l = Ai j B k l . - Egy negyedrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy másodrendű tenzort ad eredményül: A :B = A B e ⊗ e . - Egy harmadrendű tenzor (A) és egy másodrendű tenzor (B) kétpont szorzata egy vektort ad eredményül: A :B = A B e . Tenzorok sajátértékei és sajátvektorai i j k j k i A mechanikai feladatoknál gyakran lesz szükségünk a sajátértékek számítására. A tenzorok viszonylag kicsiny mérete miatt a számításoknál elegendő az általánosított sajátértékfeladat karakterisztikus egyenletének megoldásával számítani a sajátértékeket. Az alábbi egyenletekben most összegzés nélkül használjuk az indexek ismétlését (λ az A tenzor keresett sajátértéke, ˆn a keresett sajátvektora): Anˆ = λ nˆ →( A− λ I ) nˆ = 0 → det( A− λ I) = 0→ i j k l i i i i i i 3 2 λ I1λ I2λ I3 0, → − + − = (F.36) ahol a karakterisztikus egyenlet együtthatóit a tenzor első, második és harmadik invariánsának nevezzük: -1 I ( A) = tr A = λ + λ + λ , I ( A) = tr A det A = λ λ + λ λ + λ λ , (F.37) 1 1 2 3 2 1 2 1 3 2 3 3 ( A) = det( A) = λ1λ 2λ 3 ; I Az (F.36)-os egyenlet megoldására többféle módszer ismert. Alkalmazható Cardano 208 képlete vagy valamelyik modern matematikai szoftver (Mathematica, Maple, stb.), de akár zsebszámológéppel is számíthatók az egyenlet gyökei a Simo-Hughes-féle algoritmus segítségével (lásd az elméleti részleteket a [ 15 ] alatti könyvben). Az algoritmus lépései: - Számítsuk ki az (F.37) alatti képletben felsorolt mindhárom invariánst. - Számítsuk ki az alábbi segédváltozókat: 1 3 1 2 3 r = ( − 2I1 + 9I1I2 − 27 I3) , q = ( I1 − 3 I2) , θ = arccos ( r / q ) . 54 9 k l i j 207 Egyes könyvek speciális betűtípusokat használnak erre a célra. Ebben a jegyzetben ettől eltekintünk, de – megkülönböztetésül a másodrendű tenzoroktól – mindig pontosan megadjuk, hogy milyen tenzorral dolgozunk. 208 Gerolamo Cardano (1501 – 1576) olasz matematikus. Elsősorban a harmadfokú egyenlet megoldására kidolgozott képletéről és kardántengely megalkotásáról ismert. 10.06.20. 253
Page 1 and 2:
Bojtár Imre MECHANIKA - MSc Elektr
Page 3 and 4:
Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 5 and 6:
Page 7 and 8:
Page 9 and 10:
Page 11 and 12:
Page 13 and 14:
Page 15 and 16:
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Page 199 and 200:
Page 201 and 202: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 251: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
Page 279: Bojtár: Mechanika MSc Előadásvá
show all

MECHANIKA - MSc

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?