MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
D ⎛ D ⎞ ⎧ Dv
⎛ Dρ ⎞⎫
Dv
ρ v dΩ= ⎜ ( ρ v) + div( v) ρv ⎟dΩ= ⎨ρ + v⎜ +ρdiv
v⎟⎬dΩ= ρ dΩ
Dt ⎝ Dt ⎠ ⎩ Dt ⎝ Dt ⎠⎭
Dt
∫ ∫ ∫ ∫ .(7.14)
Ω Ω Ω Ω
Az utolsó előtti integrálban szereplő (sebességvektorral szorzott) tag értéke zérus, hiszen ez
nem más, mint a tömegmegmaradás törvényének megfogalmazása.
Az erők vektorát a Gauss-integráltétel segítségével alakítjuk át (most Ω-t térfogatként
értelmezzük):
t dS = n⋅ σ dS = σ ⋅∇ dV . (7.15)
∫ ∫ ∫
S S V
Behelyettesítve valamennyi átalakítást a (7.13)-as egyenletbe, megkapjuk a
mozgásmennyiség változását kifejező egyenletet:
Dv
D v
∫ ( ρ −ρb
− σ ⋅∇ )dV = 0 ⇒ ρ = σ ⋅∇ + ρ b .
Dt
Dt
V
(7.16)
Ez az egyenlet is felírható Lagrange-változók segítségével. Ha a Cauchy-féle feszültségtenzort
használjuk:
∂v(X,
t)
−1
ρ ( X, t) = div σ ( Φ ( x,
t),
t)
+ ρ ( X,
t)
b(
X,
t)
, (7.17)
∂t
míg az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor alkalmazásával:
∂v(X, t)
ρ
0
= P ⋅∇0 + ρ0b . (7.18)
∂t
Az impulzusmomentum egyenlete
Ezt a tételt a mechanikában az impulzus-tétel párjaként szokás alkalmazni. Ha a
mozgásmennyiség tételében szereplő tagok mindegyikét vektoriálisan szorozzuk egy
tetszőleges x vektorral, akkor a mechanika impulzusmomentum-tételének 92 matematikai
alakjához jutunk:
D
x×ρv dΩ = x×ρb dΩ + x× t dΓ
∫ ∫ ∫ . (7.19)
Dt Ω Ω Γ
A tétel azt mondja ki, hogy egy zárt rendszerben az x× p összefüggéssel definiált
impulzusmomentum változása a terhek hatásától függ. A kontinuummechanikában ezt az
összefüggést a feszültség-tenzorok szimmetriájának vizsgálatára használják. Alakítsuk át
például a impulzusmomentum tétel jobb oldalán szereplő utolsó tagot Euler-bázisban a
Cauchy-féle feszültségtenzor segítségével:
T
x× t dS = x× ( σ ⋅ n) dS = x× ( σ ⋅∇ ) + ε% : σ dV . (7.20)
∫ ∫ ∫ ( LC )
S S V
A vizsgálat során a Γ peremet S határfelületként értelmezzük, továbbá felhasználjuk a
matematika – integráltétel segítségével előállítható – azon összefüggését, amely egy vektor és
vektor-tenzor-szorzat vektoriális szorzatára alkalmazott felületi integrál átalakítására
vonatkozik:
T
a× ( A ⋅ n) dS = a× ( A ⋅∇ ) + ε% : A dV . (7.21)
∫
S
∫ ( LC )
V
92 A tételt a mechanikában az úgynevezett Noether-tétel egy változataként értelmezik. A Noethertétel
azt mondja ki, hogy a térben minden irány egyenértékű bármely másikkal. (Amalie „Emmy”
Noether (1882 – 1935) német matematikus volt.)
10.06.20. 100