MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
DJ
−T −T −T T
= J&
= J F : F= & J F : LF = JF F : L = J I:grad
v=
Dt
(1.18)
∂ ⎛ ∂Φ( X,
t) ⎞
−1 −1
= J tr ( grad v)
= J div v, ahol L = ⎜ ⎟F = FF & .
∂t
⎝ ∂X
⎠
Megjegyezzük, hogy az 1.3 alatti képlet felhasználásával a deformáció-gradiens tenzor
számítása kicsit másképpen is felírható:
u = x - X ⇒ x = u + X = Φ( X, t)
(1.19)
Ezt figyelembe véve:
∂x
F = = grad ( X + u( X, t) ) = I + grad u = I + H . (1.20)
∂X
Az ebben az egyenletben szereplő H tenzort elmozdulás-gradiens tenzornak szokás nevezni
(I az egységtenzort jelenti).
A deformáció-gradiens tenzor használatára bemutatunk egy egyszerű kétdimenziós példát.
Legyen a kétfajta bázis közötti kapcsolat (a transzformációs függvény) a következő:
3 1
x1 = 4 − 2 X
1
− X
2, x
2
= 2 + X
1
− X
2
.
2 2
Az Ω
0
tartományt a következő ábrán látható, egységoldalú négyzet jelenti. A vázlaton
feltüntettük az Ω tartományt is. A kezdeti konfigurációban egy egységnyi hosszúságú a
0
, a
pillanatnyi konfigurációban pedig egy ugyancsak egységnyi hosszúságú b vektort vettünk
⎡ 1 1 ⎤
fel: ( a
0
= ⎢ ⎥ , b = [ 1 0 ] ).
⎣ 2 2 ⎦
1.3. ábra: Gradiens-tenzor alkalmazása
10.06.20. 9