MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
8.2. Példa
Az ábrán látható lineáris közelítés úgy értelmezhető, mint az η − ra kapott képlet
sorba fejtett kifejezése szerinti, a magasabb rendű tagokat elhanyagoló vizsgálat:
p ⎡ 3 p ⎤
1 − η= (1 − 2 ν) 1 (1 2 ) ...
E ⎢
− − ν +
⎣ 2 E ⎥
⎦ .
Megjegyezzük, hogy az η = 1 értékhez végtelen nagy térfogatváltozási-modulus és
ν = 0,5 értékű Poisson-tényező tartozik.
Vizsgáljuk meg, hogy hogyan lehet egy 1D nemlineáris feladat végeselemes modellezéséhez
szükséges alapegyenleteket megadni a Lagrange-féle leírásmód alapján
Az 1D szerkezet végeselemes számítását a Lagrange-féle leírásmódnál felírt virtuális
X , X tartományban elhelyezkedő
munkák tétele segítségével végezzük el. Az [ ]
szerkezetet a végeselemes technikában szokásos módon e = 1,..., ne
elemre osztjuk.
Egy elemen m darab csomópontot veszünk fel, így összesen n N csomópontunk lesz.
e
Az I-edik csomópont koordinátáját jelöljük X
I
-vel, az egy elemen belüli , e
⎡
⎣X1 X m
⎤
⎦
tartományt pedig Ω
e
-vel.
a
b
8.4. ábra. Az 1D szerkezet elemekre osztása
Az egyszerűség kedvéért az „1”-es csomópont lesz az előírt elmozdulás perempontja
és az n
N
jelű pont pedig az előírt feszültségeké (megjegyezzük, hogy a végeselemes
technikában szokásos módon ezeket a peremfeltételeket majd csak a modellezés
utolsó fázisában vesszük figyelembe).
Az elmozdulásfüggvény és variációjának szokásos végeselemes közelítése:
nN
u( X , t) = N ( X ) u ( t), δu( X ) = N ( X ) δu
nN
∑ ∑ ,
I I I I
I = 1 I = 1
0
ahol N
I
( X ) a C -folytonos bázisfüggvényeket, uI
( t ) pedig a csomóponti
elmozdulásokat jelöli. A bázisfüggvényeknek most is ki kell elégíteniük az
N ( X ) = δ feltételt. Fontos tudnunk, hogy a csomóponti változók mindig a t
I J I J
paraméter függvényei, még a kvázi-statikus feladatoknál is (t jelentheti a „valódi”
időt, de lehet egy egyszerű monoton növekvő változó, például teherparaméter). Ettől
csak a csomóponti virtuális elmozdulások esetében van eltérés, δ uI
értékei nem
függnek az időtől.
A most bevezetett közelítések segítségével írjuk fel a virtuális munka egyes
komponenseit (az 1D esetre itt felhasznált, nemlineáris hatásokat tartalmazó virtuális
munkatételt korábban már részletesen levezettük!):
10.06.20. 120