MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Maximális nyírófeszültségek
A normálfeszültségek szélsőértékeinek kiszámítása mellett ugyanilyen fontos az anyagban
keletkező maximális nyírófeszültségek meghatározása is, hiszen egyes esetekben – például
képlékeny vizsgálatoknál – ezek szerepe alapvető fontosságú.
A nyírófeszültségek szélsőértékének meghatározásához írjuk fel a főfeszültségek terében egy
adott „n” normálisnál a nyírófeszültségek négyzetét az „n” normálisú síkhoz tartozó teljes
feszültség illetve a normálfeszültség segítségével.
Legyen most mindhárom főfeszültség egymástól különböző:
2 2 2 2 2 2 2
t n
= σ1
n1
+σ2n2
+ σ3n3
,
(4.23)
és mivel
2 2 2 2 2 2
σn = σ1n1 + σ2n2 + σ3n3
és τn = t
n
− σn
, (4.24)
továbbá felhasználva az iránykoszinuszokra ismert
2 2 2
n1 + n2 + n3
= 1
(4.25)
összefüggést, a nyírófeszültségekre az alábbi képletet kapjuk:
( ) ( ) ⎡( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
τn = σ1 − σ3 n1 + σ2 − σ3 n2 + σ3 − ⎣ σ1 − σ3 n1 + σ2 − σ3 n2 + σ ⎤
3 ⎦ . (4.26)
Ez a képlet azt mutatja, hogy a nyírófeszültség csak két koordináta ( n1,
n
2 ) értékétől függ. A
szélsőérték feltételei:
2
∂τn
2 2 2 2
a) = 2{ ( σ1 − σ3 ) n1 − ⎡( σ1 − σ3 ) n1 + ( σ2 − σ3 ) n2 + σ ⎤
3
2n1 ( σ1 − σ3
)}
=
∂n
⎣
⎦
(4.27)
1
{( ) ⎡( ) (( ) ( ) ) }
2 2 ⎤
1 3 1 1 3 1 3 1 2 3 2
= 2 σ − σ n
⎣
σ − σ − 2 σ − σ n + σ − σ n
⎦
= 0 .
Hasonlóan:
b)
2
∂τn
2 2
= 2{ ( σ2 − σ3 ) n ⎡
2 ( σ2 σ3 ) 2( ( σ1 σ3 ) n1 ( σ2 σ3 ) n2
) ⎤}
0
n
⎣
− − − + −
⎦
= .
∂
2
(4.28)
Keressük a nyírófeszültségeket az egyes koordinátasíkokban.
( ) 2 2
Legyen n = 0, n ≠ 0, ekkor "b" alapján ⇒ σ − σ (1 − 2 n ) = 0.
1 2 14243 2 3 2
ha≠0
1 1
2
(4.29)
Innen: n2 =± n3
=± , (4.30)
2 2
és így egy lehetséges szélsőérték:
2 1
τ ( ) 2
n = σ 2 σ 3 τ n
4
− ⇒ 1
= σ 2 − σ
2
3 . (4.31)
( ) 2 2
Legyen n = 0, n ≠ 0, akkor "a" alapján ⇒ σ − σ (1 − 2 n ) = 0 . (4.32)
2 1 14243 1 3 1
ha≠0
1 1
Innen: n1 =± n3
=± , (4.33)
2 2
és így egy másik lehetséges szélsőérték:
2 1
τn ( σ1 σ3
) 2 1
= − ⇒ τ n = σ 1 − σ 3
4
2
. (4.34)
Hasonlóan a harmadik változat:
10.06.20. 52