MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.6. Példa
⎡ π
π ⎤
ac − As −b s − Bc
−1 1 ⎡ Bc Bs ⎤ ⎢ 2 2 ⎥
F = , F & =
,
AB
⎢
As Ac
⎥ ⎢ ⎥
⎣−
⎦ ⎢ π π
a s + Ac b c − Bs ⎥
⎢⎣
2 2 ⎥⎦
2 2
L = F&
1 ⎡Bac + Abs cs( Ba − Ab)
⎤ π ⎡0 −1⎤
⋅ F −1 = = ⎢ .
2 2 ⎥ +
AB cs( Ba Ab)
Bas Abc 2
⎢
1 0
⎥
⎣ − + ⎦ ⎣ ⎦
A két mátrixból az első (szimmetrikus) tag lesz a deformáció-sebesség tenzor, míg a
második (ferdén szimmetrikus) mátrix az úgynevezett spin tenzor.
A keresett pillanatban D értéke:
D=
1
1 ⎡a
+ ab 0 ⎤
.
+ a + b + ab
⎢
0 b + ab
⎥
⎣ ⎦
Egy rögzített pont körül Θ szöggel elforgatunk egy kétdimenziós testet. Vizsgáljuk meg, mi
történik, ha meghatározzuk meg a kicsiny (lineáris) alakváltozások értékét az anyagi
koordináta-rendszer segítségével és elemezzük a számítás hibájának értékét!
A mozgás egyenlete:
⎡x⎤ ⎡cos Θ −sin Θ⎤ ⎡X ⎤ ⎡ux
⎤ ⎡cos Θ −1 −sin
Θ ⎤ ⎡X
⎤
x=R⋅X→ ⎢ , .
y
⎥ = ⎢ ⎢
sin cos Y u
⎥ =
Θ Θ
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
y sin Θ cos Θ −1
⎥ ⎢
Y
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2.7. Példa
Az alakváltozások jelen esetben:
∂u
∂u
y
1 ⎛
x
∂u
∂u
x y ⎞
ε
x
= = cos Θ− 1, ε
y
= = cos Θ− 1 , γ
x y
= ⎜ + ⎟=
0 .
∂X ∂Y 2 ⎝ ∂Y ∂X
⎠
Ha Θ értéke nagy, akkor ennél a modellnél a nyúlások zérustól jelentősen
különbözők lesznek annak ellenére, hogy most csak merevtestszerű elfordulást végez
a test 24 !
Numerikus számításoknál egyébként gyakori kérdés, mekkora lehet maximum az
elfordulás, hogy a mérnöknek még ne kelljen áttérnie nemlineáris analízisre (nagy
alakváltozásokra)
Vizsgáljuk ε − et Taylor-sorba fejtve:
x
2 2
Θ
4 Θ
ε x
= cos Θ − 1= 1 − + O( Θ ) −1 ≈ − .
2 2
A hiba az elfordulások négyzetével arányos. Ha pl.
2
10 − nagyságrendű
alakváltozásokkal dolgozunk és 1%-os a hibahatárunk (ez gyakori mérnöki
2
alaphelyzet), akkor az elfordulásoknak szintén max. 10 − rendűeknek kell lenniük.
24 Természetesen a nagy alakváltozások Green-Lagrange-tenzora zérus
2 2
( )
(például: ( )
E
11
= cosΘ− 1+ 0,5 cosΘ− 1 + sin Θ = 0, stb.).
10.06.20. 26