MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
egyenlethez jutunk, melynek két darab kétszeres gyöke van: m = 0,0,2,2. Ilyen esetben a
megoldást c r
m ln r alakkal kiegészítik, és így a végeredmény:
2
1 2 3 +
2
F = c + c ln r + c r c r ln r . (11.22)
Az ismeretlen c i együtthatókat a vizsgált feladat peremfeltételeiből kell meghatározni.
4
Feszültségfüggvény és differenciálegyenlete hengerkoordinátarendszerben,
tengelyszimmetrikus esetben
Az általános esettel most nem foglalkozunk, csak a gyakorlati feladatok számára fontos
tengelyszimmetrikus változatot mutatjuk be, levezetés nélkül, csak a végeredményre
koncentrálva. A differenciálegyenlet:
⎡ 2 2 2 2
∂ 1 ∂ ∂ ⎤ ⎡∂ F 1 ∂F ∂ F ⎤
∆∆ F = + + + + = 0 .
(11.23)
⎢ 2 2 2 2
∂r r ∂r ∂z ⎥ ⎢ ∂r r ∂r
∂z
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Az egyes feszültségkomponensek:
2
2
∂ ⎡ ∂ F ⎤ ∂ ⎡ 1 ∂F
⎤ ∂ ⎡
∂ F ⎤
σr = ⎢ν ∆F
− ,
, σ = (2 ) ,
2 ⎥ σβ
=
⎢
ν∆F
−
⎥ z ⎢ − ν ∆F
−
2 ⎥ (11.24)
∂z
⎣ ∂r
⎦ ∂z
⎣ r ∂r
⎦ ∂z
⎣
∂z
⎦
2
∂ ⎡ ∂ F ⎤
τr
z = ⎢(1
− ν)
∆F
− .
2 ⎥
∂r
⎣
∂z
⎦
Megjegyezzük, hogy a Laplace-operátor hengerkoordináta-rendszerben használatos általános
alakját már korábban is használtuk (a Függelékben is megtalálható), most annak
tengelyszimmetrikus (β -tól független) alakját alkalmaztuk:
2
2
∂ 1 ∂ ∂
∆ = + + .
(11.25)
2
2
∂r
r ∂r
∂z
A feszültségfüggvény definiálásának általános módja
Az Airy-féle feszültségfüggvényt Maxwell illetve (tőle függetlenül) Morera 155 általánosította
a következő módon (a tömegerőktől most is eltekintünk):
Egyszerű számítással ellenőrizhető, hogy a kis alakváltozások esetén használatos
szimmetrikus σ feszültségtenzor divergenciája (lásd az egyensúlyi egyenleteket) zérus :
div σ = 0 .
(11.26)
Ez a feltétel statikailag nem más, mint a Cauchy-egyenletek tömör matematikai kifejezése,
tehát a statikailag lehetséges feszültségmező definiálása.
Maxwell kimutatta, hogy egy tetszőleges, de szimmetrikus F tenzorból
rot (rot F)
T =σ (11.27)
módon képezett feszültségtenzor kielégíti ezt a divergencia-feltételt 156 , tehát statikailag
lehetséges feszültségeket eredményez. Ezt az F tenzort tekinthetjük a legáltalánosabb 3D
155 Giacinto Morera (1856 – 1907) olasz mérnök és matematikus. Sokat foglalkozott dinamikus
rendszerek matematikai vizsgálatával és nem-folytonos mechanikai rendszerek elemzésével.
156 Megjegyezzük, hogy hasonló elemzés található Tarnai „Kompatibilitási egyenletek” című,
honlapon található segédletében is.
10.06.20. 171