MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Hasonló módon megismételhetjük ∆ S behelyettesítését a második és harmadik egyenletbe,
és így végül újabb két egyenlethez jutunk a normálfeszültségek és a tömegerők közötti
kapcsolat leírására.
A nyírófeszültségekre vonatkozó egyenleteket hasonló módon kapjuk. Deriváljuk például a
második Cauchy-egyenletet z, a harmadikat pedig y szerint (éppen fordítva, mint az előbb),
majd adjuk össze őket:
2 2 2 2 2
2
∂ τ
y x
∂ σy
∂ τ
y z
∂ τ
z x
∂ τ
z y ∂ σ ⎛ g
z
∂g
∂ ⎞
z y
+ + + + + =− +
.
2 2
x z y z z x y y y z y z
(10.56)
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎜⎝
∂ ∂ ⎟⎠
Helyettesítsük be most az anyagmodellek egyenleteit az ötödik kompatibilitási egyenletbe
(lásd a kilencedik előadást), majd ebbe az egyenletbe írjuk be az előzőleg a Cauchyegyenletek
átalakításával kapott alakot:
2 2
∂ σx
ν ∂ S ∂ ⎡ ∂τ
y z
∂τ
z x
∂τ ⎤
x y
− = − + +
,
(10.57)
∂y ∂ z 1+ ν ∂y ∂z ∂x ⎢ ∂x ∂y ∂z
⎥
⎣
⎦
2 2 2 2
2
∂ σ ∂ τ
y z
∂ τ
x
z x
∂ τx y ν ∂ S
+ − − − = 0 . (10.58)
2
∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂x∂ z 1+ ν ∂y ∂z
Innen:
2
1 ∂ S ⎛∂g
∂g
⎞
z y
∆τ
y z
+ = − +
.
1 y z y z
(10.59)
+ υ ∂ ∂ ⎜⎝
∂ ∂ ⎟⎠
A másik két (még föl nem használt) kompatibilitási egyenlet segítségével újabb két képlethez
jutunk. Összefoglalva a hat egyenletet:
∂g
2
1 ∂ S ν ∂g x y ∂g z
∂g
x
∆σx + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂x 1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠ ∂x
⎛ ∂g
⎞ ∂g
2
1 ∂ S ν ∂g
x y ∂gz
y
∆σy + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂y
1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠ ∂y
⎛ ∂g
⎞
2
1 ∂ S ν ∂g x y ∂gz ∂gz
∆σz + = − + + − 2 ,
2 ⎜
⎟
1+ ν ∂z
1− ν ⎝ ∂x ∂y ∂z
⎠ ∂z
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
y ∂g
⎞
x
∆ τ
x y
+ = − ⎜ + ⎟ ,
1+ υ ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y
⎠
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
z
∂g
∆ τ
x z
+ = − ⎜ +
1 + υ ∂x ∂z ⎝ ∂x ∂z
2
1 ∂ S ⎛ ∂g
∂g
z
∆ τ
y z
+ = − ⎜ +
1+ υ ∂y ∂z ⎝ ∂y ∂z
⎛
x
y
⎞
⎟ ,
⎠
⎞
⎟ .
⎠
⎞
(10.60)
Ezeket az összefüggéseket Beltrami 152 -Michell 153 -egyenleteknek hívjuk, a
peremfeltételekkel kiegészítve ezek alkotják az erőmódszer peremértékfeladatát.
Megjegyezzük, hogy a tömegerők nélküli alakot szokás Beltrami-egyenleteknek nevezni.
Eugenio Beltrami arcképe.
152 Eugenio Beltrami (1835 – 1899) olasz matematikus, elsősorban geometriával foglalkozott.
153 John Henry Michell (1863 – 1940) kiváló ausztrál matematikus. Beltrami és Michell részletes
életrajza a tanszéki honlapról letölthető.
10.06.20. 165