MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2.3. Példa
Vizsgáljunk meg néhány elemi mechanikai változást és számítsunk ki néhány alapvető
alakváltozás-tenzort.
a./ Tiszta nyúlás: x = λ
1
X , y = λ
2
Y , z = λ
3
Z , ahol λ
i
a tengelyirányú nyúlásokat
jelenti. Számítsuk ki a jellemző alakváltozási tenzorokat!
A feladathoz tartozó gradiens-tenzor:
⎡λ1
0 0 ⎤
F =
⎢
0
2
0
⎥
⎢
λ
⎥
.
⎢⎣
0 0 λ ⎥
3⎦
A Green-Lagrange-féle alakváltozás-tenzor és az Almansi-Hamel-féle alakváltozástenzor:
⎡1
2
⎤ ⎡1 ⎢ ( λ1
−1)
0 0
2
⎥ ( 1
−2
⎤
⎢
− λ1
) 0 0
2
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
1 2
E= ⎢ 0 ( 2
−1)
0 ⎥
1 −2
λ
, e = ⎢ 0
⎢ 2
⎥
( 1−
λ2
) 0 ⎥ .
⎢
2
⎥
⎢
⎥
⎢
1
⎢
2
0 0 ( λ3
−1)
⎥
1
⎥
−2
⎢ 0 0 ( 1−
λ3
) ⎥
⎢⎣
2 ⎥⎦
⎢⎣
2 ⎥⎦
b./ Tiszta nyírás egy egységnyi oldalélű kockán (lásd a 2.5. ábrát):
x = X + k Y , y = Y , z = Z .
2.4. Példa
2.5. ábra: Tiszta nyírás vizsgálata
A deformáció-gradiens tenzor, a jobb Cauchy-tenzor és az Almansi-Hamel-féle
tenzor:
2
⎡1 k 0⎤ ⎡1 k 0⎤
⎡1 + k k 0⎤
2
F =
⎢
0 1 0
⎥
, C =
⎢ ⎢
⎥
k 1+ k 0
⎥
, b = k 1 0 .
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢ 0 0 1⎥
⎣ ⎦
10.06.20. 22