MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
x,y,z
⇒ j j , j ; ξ,
η,
ζ ⇒ i , i , i ; a,
b,
c i , i , i . (13.1)
1 , 2 3
1 2 3 ⇒
a
b
c
A következő ábrán egy általános (elemi méretű) héjelem látható, a deformáció előtti
és utáni állapotban. Az egyik pontnál berajzoltuk az eltolódások u,v,w értékét is.
Megjegyezzük, hogy a „kalappal” jelölt bázisok a deformált rendszer további módosításához
tartoznak (például amikor nyírási szögtorzulások hatását is figyelembe vesszük a mechanikai
modellnél).
13.2. ábra: Héjelem a kezdeti és a pillanatnyi bázisban
Az ábrán kijelölt, a deformálatlan helyzethez tartozó „A” pont P helyzetvektorát ismertnek
tételezzük fel, így teremtve kapcsolatot az a,b,c és az x,y,z rendszerek között:
P = p1( x,
y)
i a + p2
( x,
y)
ib
+ p3(
x,
y)
i c ,
(13.2)
ahol
∂P
∂P
j1 = = p1 ,xia + p2,xib + p
3,xic , j2
= = p1,yi a
+ p2,yib + p
3,yic
,
∂x
∂y
(13.3)
3
( ) ( ) ( )
j = j × j = p p − p p i + p p − p p i + p p − p p i .
1 2 2,x 3,y 3,x 2,y a 3,x 1,y 1,x 3,y b 1,x 2,y 2,x 1,y c
Megjegyezzük, hogy ebben a fejezetben is használjuk a jobb alsó indexnél a deriválásra utaló
vesszős szimbólumot.
A bázisvektorok közötti kapcsolat mátrixok segítségével:
⎡ j1 ⎤ ⎡ p1,x p2,x p ⎤
3,x ⎡ia
⎤
⎢
⎥
j= j = T i =
⎢
j
⎥
2
= p1 ,y
p2,y p
⎢
3,y i
⎥
abc ⎢ ⎥ b
. (13.4)
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ j ⎥
3 ⎦
⎢ p2,x p3,y p3,x p2,y p3,x p1 ,y
p1 ,x
p3,y p1,x p2,y p2,x p ⎥
⎣ − − − ⎢
1,y ⎦ ⎣i
⎥
c ⎦
Az ortogonális transzformáló tenzort jelöltük most T-vel (mátrix alakban T ). Az x,y,z
rendszer bázisvektorainak deriváltjaira lesz szükségünk, ha az eredeti, deformálatlan
szerkezet alakját jellemző, úgynevezett görbületi tenzorok előállításánál, ezért a következő
lépésben ezek számítását mutatjuk be. Felhasználva a
∂ j j jm j jm
j
j ∂ ∂
m m j 0 j n j j n
m m
, ∂ ∂
⋅ = ⋅ = ⋅
n
= − ⋅
m
, ⋅ ∂
n
= − ⋅ jm
(13.5)
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
összefüggéseket (az indexismétlések most nem jelentenek összegzést!), a következőt kapjuk:
10.06.20. 204