MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
függenek, hanem ezen változók adott időpillanatig tartó teljes történetétől. Ezt az elvet
hívják a mechanikában történetfüggésnek 59 .
Egyszerűsített esetekben ez a történetfüggés elhanyagolható: pl. ideálisan rugalmas
anyagnál csak a pillanatnyi deformációtól, termoelasztikus anyagnál pedig a deformációk
mellett csak a pillanatnyi hőmérséklettől függ a feszültség.
c./ Lokális hatás 60 :
Az anyag egy tetszőleges pontjában számított anyagi változók (pl. feszültségek) nem függnek
jelentős mértékben a pont egy meghatározott környezetén kívül levő független változóktól
(pl. jelen esetben a környezeten kívül levő alakváltozásoktól). Matematikai formában: ha egy
adott P pont mozgását és hőmérsékletét r(X,t) és T(X,t) függvények határozzák meg és a
pont egy kicsiny környezetében levő mozgást és hőmérsékletet r( X, t) és T( X, t )
függvényekkel jelöljük 61 , akkor:
∂r
∂T
r(X, t) = r(X, t) + ( X- X) ⋅ + .... , T ( X, t) = T ( X, t) + ( X- X) ⋅ + .... (5.30)
∂X
∂X
A lokális hatások elvének figyelembevételével a vizsgált pont mozgási és hőmérsékleti
állapotát a pont elemien kicsiny (lokális) környezetének figyelembevételével lehet
meghatározni. Jelenlegi tárgyalási módunkban csupán az első deriváltat fogjuk számításba
venni az anyagi hatásoknál, a magasabb rendűeket elhanyagoljuk. Megjegyezzük, hogy a
mechanikában néha az „egyszerű anyagok” jelzőt kapcsolják ehhez a leírási módhoz.
A lokális hatások és az előbb említett történetfüggés elvét figyelembe véve például a
termoelasztikus anyag legáltalánosabb anyagmodelljeire az alábbi összefüggések írhatók fel:
σ = σ( X, F, T, ∇ T ), q = q(X,F, T, ∇ T ), u = u( X,F, T, ∇ T ), η= η( X, F, T , ∇T
) (5.31)
A feszültségek, a hőáram, az energia és az entrópia függvényeit alapvetően az itt felsorolt
változók meghatározzák.
Megjegyezzük, hogy az egyenletekben szereplő X paraméter lehetővé teszi az inhomogenitás
hatásának figyelembevételét. Ugyancsak fontos megjegyzés, hogy néha a hőmérséklet helyett
a rendezetlenséget választják független változónak az alapegyenletekben, ilyenkor az (5.31)
alatti képletek a következő alakúak lesznek:
σ = σ( X, F, η, ∇η ), q = q(X,F, η, ∇η ), u = u( X,F, η, ∇η ), T = T ( X,F, η, ∇η ) (5.32)
d./ Egyidejűség:
Ha egy változó szerepel az anyagot jellemző egyenletek valamelyikében, szerepelnie kell a
többi egyenletben is, hacsak jelenléte nem sért valamilyen alapvető fizikai törvényt (a „c”
pont végén megadott állapotjellemző függvények jól illusztrálják ezt az elvet). Ha például új
59 Szokás néha „útfüggő”, vagy „terheléstörténet-függő” anyagúnak is nevezni az erre különösen
érzékeny szerkezeteket.
60
Megjegyezzük, hogy a mechanikai jelenségek leírása egyes esetekben célszerűbb lehet
úgynevezett „nemlokális” kontinuummechanikai modellek alapján, lásd erre vonatkozólag a
Függelékben olvasható megjegyzéseket.
61 Itt X és X a deformálatlan test két egymáshoz elemien közeli két pontját jelölik.
10.06.20. 68