MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
⎡u1
⎤
u = ui
= u =
⎢
u
⎥
⎢ 2 ⎥
, (F.10/a)
⎢⎣
u ⎥
3 ⎦
vagy például ugyanez sorvektorként:
T
u = u u u . (F.10/b)
Másodrendű tenzorok 205
[ ]
1 2 3
Többnyire a mechanikai feszültségek és alakváltozások megadására fogjuk őket használni.
Jelölésükre a vastagon szedett nagybetűket, vagy a vastagon szedett görög betűket használjuk
(kivéve most is az indexes illetve mátrixos jelölést), például: σ, ε, A,B ,....
Fontos megjegyzések a jegyzetben használt tenzorokhoz:
- A másodrendű tenzort az alábbiak szerint definiáljuk:
a = B c , (F.11)
ahol a B tenzor az a és c vektorok között kapcsolatot leíró lineáris operátor. A
másodrendű tenzor 3 x 3, vagyis összesen kilenc elemet tartalmaz, szokásos indexes
jelölési módja így: B . A két vektor közötti kapcsolat indexes és lineáris algebrai
írásmóddal:
i j
a = B c , a = B c.
(F.12)
i i j j
- Gyakran fogjuk használni egyenleteinkben két vektor tenzor- (más
elnevezéssel direkt-, mátrix-, diád-) szorzatát. Ennek szimbolikus alakja:
u ⊗ v , (F.13)
205 A „tenzor” elnevezés latin eredetű (tensi: nyújtani, feszíteni), mechanikai alkalmazásokból terjedt
el más szakterületekre is.
Első matematikai definíciója William Rowan Hamiltontól (lásd az első fejezet lábjegyzetét)
származik 1846-ból, mechanikai alkalmazásként pedig először Woldemar Voigt (lásd az 5. fejezet
lábjegyzetét) 1898-as publikációjában olvashatunk róla. A tenzorszámítás jórészt ma is használatos
matematikai technikáját Gregorio Ricci-Curbastro (1853 -1925, olasz matematikus) dolgozta ki az
1890-es években.
Fogalmát ma már a természettudományok számos területén használják, legáltalánosabb definícióját
pedig a matematika csoportelméleti (az algebrai struktúrák elemzésével foglalkozó tudományág)
meghatározása szerint szokták megadni: eszerint a tenzorok olyan mennyiségek, amelyek az
önábrázolás direkt szorzatai szerint transzformálódnak. A direkt szorzatban előforduló tényezők
száma szerint nevezzük a tenzorokat első-, másod-, harmad- stb. rendűnek. Más tudományterületek
(absztrakt algebra, geometriai vektoralgebra, kategóriaelmélet, matematikai fizika, lineáris algebra)
ettől eltérő definíciókat is használnak. Mi ebben a tárgyban feladataink jellege miatt elsősorban a
lineáris algebrában szokásos meghatározást fogadjuk el, az itteni Függelékben közölt definíció
ehhez illeszkedik.
Megjegyezzük, hogy egyes műszaki munkákban is szokás a vektorokat elsőrendű-, a skalárokat
pedig nulladrendű tenzorokként definiálni. Mi nem követjük ezt a jelölésmódot, és a tenzor
elnevezést csak a másod- illetve magasabbrendű változatokra fogjuk használni.
10.06.20. 249