MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
Nagyméretű tárcsánál r → ∞ esetén elvárható, hogy a megoldás a külső terhelő
feszültséghez tartson, vagyis σ = p és σ =τ = 0 .
x
y
Fejezzük ki a feladatban használt – és polárkoordináta-rendszerben felírt –
feszültségkomponenseket a vízszintes terhelő komponens segítségével:
2 1
2 1
σr
= σ x cos ϑ = p(1
+ cos 2ϑ),
σϑ = σ x sin ϑ = p(1
− cos 2ϑ),
2
2
1
τr ϑ = − σ x sin ϑcos
ϑ = − psin
2ϑ
.
2
A lyuktól távoli tartományokban uralkodó tiszta húzás jól jellemezhető egy egyszerű
feszültségfüggvénnyel:
1 2 1 2 2 1 2
F0 = σ x y = σ xr
sin ϑ = σ xr
(1 − cos 2ϑ)
.
2 2
4
A lyuk környezetének vizsgálatára alkalmas feszültségfüggvényt ennek mintájára
célszerű felépíteni. Kirsch szerint egy lehetséges ajánlás erre a függvényre:
F ( r,
ϑ)
= F1 ( r)
− F2
( r)cos2ϑ
.
Helyettesítsük be ezt a biharmonikus differenciálegyenlet polárkoordinátás alakjába:
2
⎛
2
2
d 1 d ⎞ ⎛ d 1 d 4 ⎞
∆∆ F = ⎜ ⎟
1(
) ⎜
⎟
+
+
2 ( )cos 2ϑ = 0
2
F r
+ −
2
2
F r
⎝ dr r dr ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠
Mivel ennek minden ϑ szögre teljesülnie kell, a feltételből két egyenlet adódik:
2
⎛
2
2
d 1 d ⎞ ⎛ d 1 d 4 ⎞
⎜ ⎟
1(
) 0, ⎜
⎟
+ =
2 ( ) = 0
2
F r
+ −
2
2
F r .
⎝ dr r dr ⎠ ⎝ dr r dr r ⎠
Az első egyenlet ugyanaz, mint a polárkoordinátákkal felírt, szimmetrikus esetre
vonatkozó biharmonikus alak (Euler-féle differenciálegyenlet), így megoldása is
megegyezik az előzőekben levezetettel:
2 2
F1 ( r)
= c1
+ c2
ln r + c3r
+ c4r
ln r .
A második egyenletet részletesen kifejtve a következőt kapjuk:
4
3
2
d F2
2 d F2
9 d F2
9 dF2
+ − + = 0.
4
3 2 2 3
dr r dr r dr r dr
m
Ez az egyenlet is nagyon hasonlít az Euler-féle egyenletre, megoldását szintén cr
alakban keressük. Behelyettesítve a differenciálegyenletbe, az
4 3 2
m − 4m
− 4m
+ 16m=
0
egyenlethez jutunk, melynek megoldásai: m = 0,-2,2 és 4. Így
1 2 4
F 2 ( r)
= c5
+ c6
+ c
2 7r
+ c8r
.
r
Behelyettesítve a feszültségfüggvény végleges alakját az egyes
feszültségkomponensekre kapott korábbi polárkoordinátás összefüggésekbe:
c2
⎛ 4c5
6c6
⎞
σr
= + 2c3
+ c4
(1 + 2ln r)
− ⎜ + + 2c7
⎟cos2ϑ
,
2
2 4
r
⎝ r r ⎠
Ezeknek a feszültségeknek r → ∞ esetén a bevezetőben megadott
feszültségkomponensekhez kell tartaniuk, azok értékét és képlettel kifejezett alakját is
felvéve. A feszültségeknek emellett ki kell elégíteniük a lyuk szabad peremén
figyelembeveendő peremfeltételt is, nevezetesen: σr =τr
ϑ = 0 , ϑ bármilyen értékére.
Mindezeket figyelembe véve a paraméterek:
x y
2
2
10.06.20. 178