MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A kezdeti görbületek miatt Θ1 ≠w, és Θ2 ≠ w, , bár az elfordulásokat jelen vizsgálatban
y
kicsinek tételezzük fel. Így az ábra (és az előző előadás 13.19 alatti egyenletei) alapján a
lineáris tagok figyelembevételével:
ˆ
−1 T23 −1 T23
0 0
Θ
1
= tan = tan = w, y
−u k62 − vk2
,
T ˆ
22 T22
(14.37)
ˆ
−1 T13 −1 T13
0 0
Θ
2
= − tan =− tan = − w, x
+ u k1 + vk61
T Tˆ
. (14.38)
11 11
Az előzőekhez hasonlóan a
1
tan − szimbólum az arctan jelöléssel egyenértékű. Az
elmozdulásvektor deriváltjai:
∂ u 0 0 0 0 0 0
( u , x
z 2, x
vk 5
z 1k 5
wk1 ) j ( v 1 , x
z 1, x
uk 5
z 2k 5
wk61)
j 2
∂x
+ ( w
0 0 0
−uk − zΘ k − vk
0
+ zΘ k ) j .
(14.39)
, x 1 2 1 61 1 61 3
10.06.20. 239
x
∂ u = 0 0 0 0 0 0
( u + , y
z Θ − 2, y
vk + 4
z Θ 1k + 4
wk62 ) j + ( v − 1 , y
z Θ + 1, y
uk + 4
z Θ 2k + 4
wk2
) j + 2
∂y
+ ( w −uk − zΘ k − vk + zΘ k ) j ,
(14.40
0 0 0 0
, y 62 2 62 2 1 2 3
∂ u =Θ −Θ
∂z
2j
.
1 1j2 (14.41)
Az alakváltozások: (14.42)
∂u 0 0 0
ε
11
= ⋅ j
1
= u, x
− k5 v + k1 w+ z( Θ
2, x
+ k5Θ1
) ,
∂x
∂u 0 0 0
ε
22
= ⋅ j
2
= v, y
+ k4u + k2 w+ z( −Θ
1, y
+ k4Θ2) ,
∂y
∂u
∂u
0 0 0 0 0
ε
12
= ⋅ j2 + ⋅ j1 = u, y
+ v, x
− k4v + k5u + k6 w+ z( Θ2, y
−Θ
1, x
+ k4Θ 1
+ k5Θ2) ,
∂x
∂y
ε = 0, ε = z( k Θ −k Θ ), ε = z( k Θ −k
Θ ) .
0 0 0 0
33 13 61 1 1 2 23 2 1 62 2
A fenti alakváltozás-komponensek felírásánál feltételeztük a k 61 = k62
= k6
/ 2
egyenlőséget, ami a lineáris héjelmélet sima és deformálatlan felületeire igaz. Mivel a
keresztirányú nyírási deformációkat az ún. klasszikus elméletben zérusnak tekintik, így
0 0 0 0
ε = z( k Θ −k Θ ) =ε = z( k Θ −k
Θ ) = 0.
(14.43)
13 61 1 1 2 23 2 1 62 2
Az elmozdulásvektor idő szerinti deriváltjait illetve variációját felírva kiszámíthatjuk a
kinetikus energia variációját:
δ K = − ρuɺɺ ⋅δ u dz dA = − (( I uɺɺ + I Θɺɺ
) δ u + ( I vɺɺ − I Θɺɺ
) δ v + I wɺɺ δ w+
(14.44)
∫ ∫
∫
A z A
+ ( I Θ ɺɺ + I uɺɺ ) δΘ + ( I Θɺɺ
− I vɺɺ
) δΘ ) dA,
2 2 1 2 2 1 1 1
0 1 2 0 1 1 0
ahol I 0 , I 1 és I 2 értékeit már a 13. heti előadáson meghatároztuk.
A belső potenciál is felírható a korábbi lemezfeladatokhoz hasonlóan: (14.45)
∫ ∫
δ Π = ( σ δε +σ δε +σ δε ) dz dA = ( N δ u + N δ u + N δ v + N δ v +
b 11 11 22 22 12 12 1 , x 6 , y 2 , y 6 , x
A z A
0 0
1 2, x 2 1, y 6 2, y 6 1, x 4 2 4 6
+ M δΘ −M δΘ + M δΘ −M δΘ + k N δu −k N δ v +
+ k M δΘ + k M δΘ + k N δu−k N δ v + k m δΘ + k M δΘ +
0 0 0 0 0 0
4 2 2 4 6 1 5 6 5 1 5 6 2 5 1 1
∫
0
0
0