MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
2 2 2
∂ F 2 2 ∂ F 1 ∂ F 2 1 ∂F 2 2 ∂F
= cos β − sinβcosβ + sin β + sin β + sinβcos β.
2 2 2 2
∂r r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β
Hasonlóan az y szerinti második derivált: (11.12)
2 2 2 2
∂ F ∂ F 2 2 ∂ F 1 ∂ F 2 1 ∂F 2 2 ∂F
= sin β + sinβcosβ + cos β + cos β − sinβcos β.
2 2 2 2 2
∂y ∂r r ∂r∂β r ∂β r ∂r r ∂β
A vegyes második derivált szintén az elsőkből számítható:
2
∂ F
∂x
∂y
2
∂ F
1
= sin βcosβ −
2
2
∂r
r
2
2
∂ F 2 2 1 ∂ F
1 ∂F
(sin β − cos β)
− sin βcosβ − sin βcosβ +
2 2
∂r
∂β
r ∂β
r ∂r
1 ∂F
2
+ (sin β − cos
2 β)
. (11.13)
2
r ∂β
A másodrendű deriváltat meghatározó tagok összeadásából a következőt kapjuk:
2
2
2
∂ F ∂ F ∂ F 1 ∂F
1 ∂ F
∆F = + = + + .
(11.14)
2 2 2
2 2
∂x
∂y
∂r
r ∂r
r ∂β
Ennek segítségével már előállíthatjuk a differenciálegyenletet:
⎡
2
2 2
2
∂ 1 ∂ 1 ∂ ⎤ ⎡∂
1 ∂ 1 ∂ ⎤
∆∆ F F F F
= ⎢ + +
= 0 .
2
2 2 ⎥ ⎢ + +
2
2 2 ⎥
⎣∂r
r ∂r
r ∂β ⎦ ⎣ ∂r
r ∂r
r ∂β
(11.15)
⎦
A feszültségek transzformációs képlettel számíthatók (emlékeztetőül lásd a Függelék (F.45)
alatti képletét):
2
2
2
2
σr = σx
cos β + σ y sin β + τx y sin2β,
σβ =σx
sin β + σ y cos β − τx
y sin2β
, (11.16)
1
τ r β = − ( σ x − σ y )sin 2β + τ x y cos 2β
.
2
Behelyettesítve ide a feszültségeknek a feszültségfüggvénnyel való kapcsolatát,
egyszerűsítések után a végső képletek:
2
2
1 ∂F
1 ∂ F ∂ F ∂ ⎛ 1 ∂F
⎞
σr = + , σ = , τ = − ⎜ ⎟ ,
2 2 β 2 r β
(11.17)
r ∂r
r ∂β ∂r
∂r
⎝ r ∂β ⎠
Megjegyezzük, hogy tengelyszimmetria esetén a feszültségek számítása és maga a
differenciálegyenlet még tovább egyszerűsödik, a feszültségfüggvény csak r-től függ:
2
1 dF d F
σ
r
= , σ
β
= , τ 0 ,
2 rβ
=
r dr dr
(11.18)
4 3 2
d F 2 d F 1 d F 1 dF
+ − + = 0 .
4 3 2 2 3
dr r dr r dr r dr
(11.19)
Ez az egyenlet egyébként nem más, mint az úgynevezett Euler-féle differenciálegyenlet
polárkoordinátás alakja (a mechanikai feladathoz most már egy közönséges
differenciálegyenlet tartozik parciális helyett!).
4
Az Euler-egyenlet általános megoldásának felírásához az egyenletet r -nel megszorozzák:
4 3 2
4 d F 3 d F 2 d F dF
r + 2r − r + r = 0
4 3 2
dr dr dr dr
, (11.20)
m
majd a megoldást F = cr alakban keresik.
Ezt behelyettesítve az
4 3 2
m − 4m
+ 4m
= 0
(11.21)
2
10.06.20. 170