MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
5.7. ábra: Stabil és instabil anyagi viselkedés
Ha figyelembe vesszük a hiperelasztikus anyagok definíciójára a korábbiakban bevezetett
összefüggést, akkor a Drucker-féle stabilitási posztulátum alkalmazásával az alábbi
kifejezéshez jutunk:
2 2
∂σ ∂ W ⎛
∂ W ⎞
T
σ &
= ε & = ε & ⇒ ⎜
ε & ⎟
ε & > 0 ⇒ ( H
ε &)
ε &
> 0
. (5.84)
∂ε ∂ε∂ε ⎝
∂ε ∂ε ⎠
Az utolsó tagban szereplő H az energia-függvény alakváltozások szerinti második parciális
deriváltjait it tartalmazó negyedrendű tenzor. A mechanikában Hesse 68 -mátrix néven ismerik,
pozitív definit volta biztosíték az energiafüggvényből származtatott anyagmodell
stabilitására:
T
2 2 2 2 2 2
⎡
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂
W
⎢
⎢
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
⎢
2 2 2 2 2
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W ∂ W
⎢
2
⎢
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
⎢
2 2 2 2
⎢
∂ W ∂ W ∂ W ∂ W
2
⎢
∂ε ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ ∂ε ∂γ
H =
⎢
2 2 2
⎢
∂ W ∂ W ∂ W
⎢
2
⎢
∂γ ∂γ ∂γ ∂γ ∂γ
⎢
2 2
∂ W
∂ W
⎢
szimm.
2
⎢
∂γ
∂γ ∂γ
⎢
2
⎢
∂
W
⎢⎣
∂γ 2 zx
2
x x y x z x xy x yz x zx
y y z y xy y yz y zx
z z xy z yz z zx
xy xy yz xy zx
yz yz zx
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
. (5.85)
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
68 Ludwig Otto Hesse (1811 – 1874) német matematikus.
10.06.20.
78