MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
A mechanikában használatos feltételrendszernek megfelelően a legáltalánosabb, úgynevezett
vegyes variációs elvek körében három mezőváltozó függvény 117 alkalmazható: az
elmozdulások ( ui, u , u ), az alakváltozások ( ε
i j, ε , ε ) és a feszültségek ( σ
i j, σ , σ ). Ha
ezeket a variációs elvek funkcionáljában egymással variáljuk, akkor a következő
változatokhoz jutunk:
Típus Mezőváltozók A variációs elv neve
1./ Egyváltozós Elmozdulások Teljes potenciális energia
2./ Egyváltozós Feszültségek Teljes kiegészítő potenciális energia
3./ Egyváltozós Alakváltozások Nincs elfogadott elnevezése
4./ Kétváltozós Elmozdulások és Hellinger-Reissner-elv 118
feszültségek
5./ Kétváltozós Elmozdulások és Nincs elfogadott elnevezése
alakváltozások
6./ Kétváltozós Alakváltozások és Nincs elfogadott elnevezése
feszültségek
7./ Háromváltozós Elmozdulások, Veubeke-Hu-Washizu-elv 119
feszültségek és
alakváltozások
Megjegyezzük, hogy a fenti táblázatban felsorolt hétféle elv közül numerikus számítások
céljára az elmúlt mintegy hatvan évben összesen négy vált be, azok közül is kiemelkedik
gyakorlati használhatóságával a potenciális energia minimumtétele. Nem véletlen, hogy az
eddig tanult numerikus technikáink jelentős része erre épült.
117 Az egyszerűség kedvéért itt a kis geometriai változásoknál szokásos feszültség- és alakváltozásszimbólumokat
használjuk, de a későbbiekben bemutatunk nagy alakváltozások esetén használatos
variációs elvet is.
118
Az elv alapvető ötlete Ernst David Hellinger (1883 – 1950) német matematikustól származik.
Kapcsolódó publikációja: „Die allgemeine Ansätze der Mechanik der Kontinua”, Encyklopedia der
Mathematischen Wissenschaften, Vol. 4, ed. F. Klein – C. Müller, Teubner Verlag, Leipzig, 1914.
Mérnöki feladatokra történő első alkalmazása Georg Prange (1885 – 1941) német matematikusnál
olvasható: „Der Variations- und Minimalprinzipe der Statik der Baukonstruktionen”,
Habilitationsschrift, Techn. Univ. Hanover, 1916. Az elv általánosítását és a mechanikai
peremfeltételekkel való pontos kapcsolatrendszer tisztázását Eric Reissner (1913 - 1996) német
származású amerikai kutató végezte el: „On variational theorem in elasticity”, Journal of
Mathematics and Physics”, Vol. 29, pp. 90-95, 1950.
119
A kínai Hu Haichang (1928 – ) munkája: „On some variational principles in the theory of
elasticity and the theory of plasticity”, Sci. Sinica, Vol. 4, pp. 33-54, Peking, 1954. A japán
Kyuichiro Washizu (1921 – 1981) cikke: „On the variational principles of elasticity and plasticity”,
Aeroelastic and Structures Research Laboratory, Technical Report 25-18, Massachusetts Institute of
Technology, Cambridge, March, 1955.
Kevésbé ismert, hogy Baudouin M. Fraeijs de Veubeke (1917-1976) belga kutató négy évvel
korábban már bemutatta ugyanezt az elvet. Cikke: „Diffusion des inconnues hyperstatiques dans les
voilures à longeron couplés”, Bull. Serv. Technique de L'Aéronautique No. 24, Imprimeríe Marcel
Hayez, Bruxelles, pp. 1-56, 1951.
10.06.20. 134