MECHANIKA - MSc

Bojtár: Mechanika MSc
Előadásvázlat
4.1 Példa
Vizsgáljuk meg a (4.3)-as ábrán látható 2D elemi hasábot, ahol adottak egy pillanatnyi
állapothoz tartozó Cauchy-feszültségtenzor értékei.
Forgassuk a hasábot adott ω szögsebességgel, és tegyük fel, hogy a feszültségek
„befagyasztott” állapotban vannak, fizikailag mindig ugyanazt a hatást fejtik ki az elemi
hasábra. Ezek után vizsgáljuk meg a különböző feszültségtenzorokat a t =0 helyzetből
kiindulva a t = π
pillanatban (itt ω a forgatás szögsebessége):
2 ω
4.3. ábra. Elforgatott testen működő feszültségek.
Legyen a kezdeti állapot tenzora:
σ t = 0
=
0
⎡σ
0 ⎤
x
⎢ .
0 ⎥
⎢⎣
0 σ
y ⎥⎦
A kiindulási állapotban F= I, így
S = P = σˆ
= σ =
0
⎡σ
⎤
x
0
⎢ ⎥ .
0
⎢⎣
0 σ
y ⎥⎦
A deformált állapotban először számítsuk ki a
deformációs gradienst:
t = π
2ω
pillanathoz tartozó
⎡cosπ/
2 − sin π / 2⎤
⎡0
−1⎤
F = ⎢
.
sin / 2 cos / 2
⎥ ⎢
1 0
⎥
⎣ π π ⎦
=
⎣ ⎦
A determináns: J = det ( F ) = 1 . Mivel a feszültség értéke fizikailag nem változott, az
új állapotban a Cauchy-féle feszültség:
σ =
0
⎡σ
0 ⎤
y
⎢ .
0 ⎥
⎣ 0 σ
x ⎦
A többi (gyakorlati szempontból fontos) feszültségtenzor:
P = J
0
0
−1
⎡ 0 1⎤
⎡σ
0 ⎤ ⎡ 0 σ
y
F σ = ⎢ ⎢ 0 ⎥ =
x
⎤
⎢ 0
1 0
⎥
⎥ ,
⎣−
⎦ ⎣ 0 σ ⎦ ⎢⎣
− σ
x
y
0 ⎥⎦
S = P ⋅F
illetve (mivel R= =F):
−T
⎡ 0
= ⎢
⎢⎣
− σ
T
y
σ ˆ = S .
0
σ ⎤
x ⎡0
⎥
0
⎢
⎥⎦
⎣1
−1⎤
0
⎥ =
⎦
0
⎡σ
x
⎢
⎢⎣
0
0 ⎤
,
0 ⎥
σ
y ⎥⎦
10.06.20.
49